Matematyka.pl

Napisać równanie stycznej do krzywej \(\displaystyle{ x=t\ln t}\) ,\(\displaystyle{ y- \frac{\ln t}{t}}\) w dowolnie wybranym punkcie tej krzywej ( np. dla \(\displaystyle{ t = 1}\) ).

-- 16 gru 2016, o 18:15 --

\(\displaystyle{ x=t \ln t=f(t)}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{\ln t}{t}=g(t)}\)
dla \(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ x_{0}=0}\) oraz \(\displaystyle{ y_{0}=0}\)
pkt. \(\displaystyle{ P(0,0)}\)
\(\displaystyle{ y=ax+b}\) gdzie \(\displaystyle{ a=f'(x_{0})=\frac{g'(t_{0})}{f'(t_{0})}}\)

\(\displaystyle{ f'(t)=\ln t + 1 \\
g'(t)= \frac{1-\ln t}{t^2} \\
f'( x_{0}) = \frac{(\ln t)t^2}{1-\ln t}}\)

\(\displaystyle{ t=0}\) wypada z dziedzin obu funkcji (w przypadku \(\displaystyle{ g(t)}\) podwójnie nawet, bo zarówno w argumencie logarytmu naturalnego nie może być zera, jak przez zero nie można dzielić).
Masz osobno policzyć styczną do każdej z podanych funkcji, a nie znaleźć jakieś dziwne combo
Dla \(\displaystyle{ f(t) = t\ \ln(t)}\)
szukamy funkcji \(\displaystyle{ y-f(t_0)=f'(t_0)\ (t-t_0)}\)
\(\displaystyle{ t_0=1}\) jest dobrym wyborem, bo \(\displaystyle{ f(1) = 0}\).
Wtedy wg policzonej przez ciebie pochodnej \(\displaystyle{ f'(t_0) = \ln0 + 1 = 1}\)
czyli szukana styczna
\(\displaystyle{ y=t-1}\)

Lothmel, słyszałaś o postaci parametrycznej krzywej?

Powiedzmy że te funkcje opisują położenie punktu w chyli \(\displaystyle{ t}\) wiadomo że wektor prędkości był by styczny do tory w danej chwili.

zapiszmy więc wektor swobodny prędkości \(\displaystyle{ \vec{v}(t_0)=\left[ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t} , \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t} \right](t_0)=\left[ 1+\ln t_0, \frac{1-\ln t_0}{t_0^2} \right]}\)


przypnijmy go teraz do punkty na krzywej w danej chwili \(\displaystyle{ t_0}\) i rozepnijmy go na parametrze \(\displaystyle{ s\in\left( - \infty , \infty \right)}\)
Co da nam równanie parametryczne stycznej. W postaci wektorów wygląda ono

\(\displaystyle{ \vec{styczna}=\left( t_0\ln t_0 , \frac{\ln t_0}{t_0}\right) +\left( 1+\ln t_0, \frac{1-\ln t_0}{t_0^2}\right) \cdot s}\)

i w postaci parametrycznej :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{st}(s)= t_0\ln t_0+ (1+\ln t_0) \cdot s \\ y_{st}(s)= \frac{\ln t_0}{t_0}+(\frac{1-\ln t_0}{t_0^2}) \cdot s\end{cases}}\)

rugując z jednego równania \(\displaystyle{ s}\) i podstawiając do 2 dostaniesz równanie stycznej do krzywej w chwili \(\displaystyle{ t_0}\)