Obliczyć objętość - całka potrójna

[yaper]

Obliczyć: \(\displaystyle{ \iiint_{V}\frac{xy dx dy dz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\) gdzie \(\displaystyle{ \{V={(x,y,z)\in \RR^3: 1 \leqslant x^2+y^2+z^2\leqslant2 \land x\geqslant0 \land y\geqslant0}\}}\)

Proszę o rozwiązanie tego zadania z komentarzami postępowania.

Z góry dziękuję za bezcenną w tym momencie dla mnie pomoc.

[luka52]

Przejdź na współrzedne sferyczne, tak jak to jest opisane na http://pl.wikipedia.org/wiki/Układ_wspó ... ferycznych
Dodatkowo napiszę w jakich zakresach będą się zmieniać poszczególne zmienne (przy zachowaniu oznazeń z wikipedii):
\(\displaystyle{ 1 \leq r \leq \sqrt{2}\\
0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\\
- \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}}\)

PS. No i nie zapomnij o jakobianie przekształcenia.

[scyth]

V to dodatnia (na osiach x i y) ćwierć-kula o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt 2}\) minus ćwierć-kula o promieniu 1.
Możemy więc liczyć dla dodatniego z i potem wynik pomnożyć razy 2 (mam nadzieję, że wiesz o czym mówię - najlepiej pomaga rysunek).
Żeby znależć granice całkowania najlepiej posłużyć się rzutowaniami.
Granicą dla:
- z jest \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt 2}\)
- y jest \(\displaystyle{ \sqrt{1-z^2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2-z^2}}\)
- x jest \(\displaystyle{ \sqrt{1-z^2-y^2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2-z^2-y^2}}\)

Otrzymujemy całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} \int\limits_{\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{2-z^2}} \int\limits_{\sqrt{1-z^2-y^2}}^{\sqrt{2-z^2-y^2}} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} dx dy dz}\)

Stąd już jest w miarę łatwo pierwsza całka:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\sqrt{1-z^2-y^2}}^{\sqrt{2-z^2-y^2}} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} dx = [ x^2+y^2+z^2=t 2xdx=dt]}\) (granic nie chce mi sie zmieniac)
\(\displaystyle{ = \frac{y}{2} \int\limits_{\sqrt{1-z^2-y^2}}^{\sqrt{2-z^2-y^2}} \frac{1}{\sqrt{t}} dt =
= y \left[\sqrt{x^2+y^2+z^2} \right]_{\sqrt{1-z^2-y^2}}^{\sqrt{2-z^2-y^2}} = (\sqrt{2}-1)y}\)

Dostajemy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} \int\limits_{\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{2-z^2}} (\sqrt{2}-1)y dy dz}\)
i liczymy drugą całkę:
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1) \int\limits_{\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{2-z^2}} y dy = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \left[ y^2 \right]_{\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{2-z^2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}}\)

Zostaje do policzenia:
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2}-1}{2} dz = \frac{\sqrt{2}-1}{2} (\sqrt{2}-1) = \frac{3}{2}-\sqrt{2}}\)

Ostatecznie wynik to \(\displaystyle{ 3-2\sqrt{2}}\).

Mam nadzieję, że nie popełniłem nigdzie błędu. Ewentualnie możesz liczyć we współrzędnych sferycznych...
(hm... mogłem wcześniej pomyśleć chyba, ale tak też jest prosto ).

[yaper]

Jeszcze takie małe pytanko:

Jakbym liczył całkę dla dodatniego x lub y to nie musiałbym mnożyć razy 2, nieprawdaż?