Szereg Laurenta - niejasności

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
CheGitarra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 16 paź 2006, o 13:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z planety IRK
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 6 razy

Szereg Laurenta - niejasności

Post autor: CheGitarra » 10 wrz 2007, o 22:35

Mam rozłożyć w Laurenta \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1}}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ 1}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Szereg Laurenta - niejasności

Post autor: Sir George » 12 wrz 2007, o 10:00

CheGitarra pisze:EDIT: (Wczoraj byłem na tyle zmęczony że tego nie zauważałem ale ten 2-gi szereg można rozwinąć chociażby tak):
Niestety nie, nie można (tzn. na upartego można, ale szereg nie będzie zbieżny). Zauważ, że dla z z owego pierścienia \(\displaystyle{ \left|\frac{3}{z-2}\right|>1}\)...

Mam nadzieję, że teraz już załapałeś, dlaczego właśnie tak i nie inaczej się rozwija... Szeregi, które dostajesz, to szeregi potęgowe, czyli dla ustalonej wartości zmiennej z są to liczbowe szeregi geometryczne, które - jak wiadomo - są zbieżne, gdy wartość bezwzględna ilorazu jest mniejsza od jedności.

Pozdrawiam,

zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Szereg Laurenta - niejasności

Post autor: zeeloony » 26 cze 2008, o 14:43

czy wynik ostateczny to:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\frac{1}{(z-2)^{n}} + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\frac{(z-2)^n}{3^{n+1}}}\)
?
i czy ten wynik jest równoważny takiemu
\(\displaystyle{ -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z-2)^{n}} - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-2)^n}{3^{n+1}}}\)

a gdybym tak zmieniła zakres \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1}}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ 0}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Szereg Laurenta - niejasności

Post autor: soku11 » 26 cze 2008, o 19:35

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(z-2)^{n+1}}+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^{n+1}} (z-2)^n}\)


Jesli chcesz zeby tam byly minusy, to wyciagasz minus:
\(\displaystyle{ -\left[-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(z-2)^{n+1}}-
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^{n+1}} (z-2)^n\right]}\)


Jesli zmienisz tak pierscien, to zauwaz, ze zniknie ci czesc osobliwa (ta z 'z' w mianowniku). Czyli rozwijasz w

szereg tylko czesc \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}}\), czyli tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}=\frac{1}{z+1-2}=-\frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{z+1}{2}}=
-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{z+1}{2} \right)^n=
-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}(z+1)^n}\)



POZDRO

ODPOWIEDZ