Obliczyć granicę

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
seba174
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 11 lut 2014, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy

Obliczyć granicę

Post autor: seba174 » 14 gru 2016, o 22:30

Zakładając, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ a}\), obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } n\left( f(a+ \frac{1}{n}) - f(a) \right)}\).
Czy istnienie powyższej granicy implikuje istnienie pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ a}\)?

Niech \(\displaystyle{ h= \frac{1}{n}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } n\left( f(a+ \frac{1}{n}) - f(a) \right)= \lim_{h\to0 } \left( \frac{f(a+ h) - f(a)}{h} \right) = f'(a)}\)

Istnienie tej granicy nie implikuje istnienia pochodnej. Kontrprzykład:
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|}\).
Wtedy dla \(\displaystyle{ a=0}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } n\left( f(a+ \frac{1}{n}) - f(a) \right)= \lim_{n\to\infty } n\left(\left| \frac{1}{n}\right| - 0 \right)= 1}\)
A jak wiemy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest różniczkowalna.

Czy zadanie jest rozwiązane poprawnie?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14468
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 4760 razy

Obliczyć granicę

Post autor: Premislav » 14 gru 2016, o 22:33

Zgadza się.

ODPOWIEDZ