Twierdzenie Greena

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
paicey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Twierdzenie Greena

Post autor: paicey » 10 wrz 2007, o 21:43

Witam, jutro egzamin, a ja do tej pory nie rozumiem tw. Greena.

Mam takie zadanie:

Wykorzystując tw. Greena oblicz całkę krzywoliniową skierowaną:
\(\displaystyle{ \int (y^{4} + \sqrt{x+1}) dx + (x^{2} - cos y + 5y) dy}\), gdzie obszar C jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru zawartym między krzywymi \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}, y=x}\).

Bardzo proszę o rozwiązanie tego zadania, jeśli to możliwe to z opisem poszczególnych kroków.

_____
" - pilne !" - ozdobnik?!
bolo
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 21:48 przez paicey, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Twierdzenie Greena

Post autor: luka52 » 10 wrz 2007, o 21:55

W czym tkwi problem
Nieznajomość wzoru?, nieumiejętność policzenia pochodnych?, problem z policzeniem całki?

paicey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Twierdzenie Greena

Post autor: paicey » 10 wrz 2007, o 22:02

Czy mam najpierw policzyć pochodną po y z wyrażenia \(\displaystyle{ y^{4}+\sqrt{x+1}}\), a potem pochodną po x z wyrażenia \(\displaystyle{ x^2-cos y +5y}\) ? Czy potem zapisać całkę jako różnica tych pochodnych ? Chodzi o to że trzeba zapisać całkę podwójną, przede wszystkim nie wiem jak obliczyć (odczytać?) obszar całkowania.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Twierdzenie Greena

Post autor: luka52 » 10 wrz 2007, o 22:11

paicey pisze:Czy potem zapisać całkę jako różnica tych pochodnych ?
Tak, ale uważaj co od czego odejmujesz.
paicey pisze:przede wszystkim nie wiem jak obliczyć (odczytać?) obszar całkowania.
Przedewszystkim musisz wiedzieć jaki obszar ograniczają podane krzywe - naszkicuj go i oblicz punkty przecięcia się krzywych.

Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 955
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

Twierdzenie Greena

Post autor: Fibik » 10 wrz 2007, o 22:14

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Greena

\(\displaystyle{ P = y^4 + \sqrt{x+1}\ \to\ P_y = 4y^3\\Q = x^2-\cos y +5y\ \to\ Q_x = 2x}\)

\(\displaystyle{ I = t_0^1\int_x^{\sqrt{x}} (2x - 4y^3)dxdy = t_0^1 (2xy - y^4)|_x^{\sqrt{x}} dx = t_0^1 (2x\sqrt{x}-x^2 - 2x^2 + x^4)dx}\)

paicey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Twierdzenie Greena

Post autor: paicey » 10 wrz 2007, o 22:18

Wychodzi że wykresy przecinają się w punktach (0,0) i (1,1). Wiem jak wygląda ten obszar, od dołu ograniczony jest prostą y=x, od góry krzywą \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}}\). Jeśli chodzi o pochodne to odejmujemy od tej drugiej pierwszą. Sęk w tym że nie wiem jak zapisać teraz tą całkę podwójną, może to w tym momencie rzecz najprostsza, dlatego jeśli ktoś mógłby mi pokazać, byłbym naprawdę wdzięczny.
____________________________________________
Dziękuję, pospieszyłem się z odpowiedzią

ODPOWIEDZ