Nierówność i indukcja matematyczna

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Pablo90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rydułtowy
Podziękował: 2 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: Pablo90 » 10 wrz 2007, o 21:35

Mam problem z rozwiązaniem tej nierówności:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N{+}} n^{3}+5>2n^{2}}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6171
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 wrz 2007, o 21:41

\(\displaystyle{ n^2(n-2)}\) >-5 dla n>1

Pablo90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rydułtowy
Podziękował: 2 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: Pablo90 » 10 wrz 2007, o 21:53

Powiem szczerze, że za wiele mi to nie daje, jestem po pierwszej lekcji dowodzenia nierówności poprzez indukcję matematyczną. Mogę prosić dowód do tej nierówności?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: luka52 » 10 wrz 2007, o 21:58

D-d:
\(\displaystyle{ L_T = (k+1)^3 + 5 = k^3 + 3k^2 + 3k + 5 + 1 > 2k^2 + 3k^2 + 3k + 1 > \\
> 2k^2 + 4k + 2 = 2(k+1)^2 = P_T}\)
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 23:34 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.

Pablo90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rydułtowy
Podziękował: 2 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: Pablo90 » 10 wrz 2007, o 22:32

Ok, dzięki. Ale czy tu nie trzeba jakoś wykorzystać założeń?
Bo założenia będą takie:
\(\displaystyle{ k^{3}+5>2k^{2}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: luka52 » 10 wrz 2007, o 23:34

hehe owszem nawet trzeba jeżeli chce się udowodnić tą nierówność indukcyjnie.
Już poprawiłem dowód.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6171
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: mol_ksiazkowy » 11 wrz 2007, o 00:01

nop Ładniei elegancko...tylko nie zapomnijcie prosze
sprawdzic start indukcji ,aby sie nikt was nie czepiał...
n=1

Pablo90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rydułtowy
Podziękował: 2 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: Pablo90 » 11 wrz 2007, o 19:29

luka52 pisze: \(\displaystyle{ > 2k^2 + 4k + 2}\)
Może mi ktoś napisać na jakiej podstawie stwierdzić, że to jest mniejsze od poprzedniego wyrażenia? To po prostu chodzi tylko o to żeby było to samo co po prawej stronie? Czy trzeba jeszcze raz skorzystać z założeń? I ostatnie pytanie - jest jakiś inny sposób rozwiązania? Trochę to zawiłe, ale może ktoś zrozumie moje pytania

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Nierówność i indukcja matematyczna

Post autor: luka52 » 11 wrz 2007, o 20:26

\(\displaystyle{ 2k^2 + 3k^2 + 3k + 1 > 2k^2 + 4k + 2\\
3k^2 > k + 2\\
k^2 + 2k^2 > k+2}\)

A ta ostatnia nierówność jest chyba "oczywista" bo zarówno \(\displaystyle{ k^2 > k}\) jak i \(\displaystyle{ 2k^2 > 2}\).
(choć lepiej zapisać tą nierówność jako słabą -> patrz przypadek gdy k=1)

ODPOWIEDZ