Matematyka.pl

Witam. Tak zwana metoda przekątniowa która ma rzekomo dowodzić, że istnieją większe i mniejsze zbiory nieskończone jest tak naprawdę absurdalna. Tak myślę, proszę mnie poprawić jeśli jestem w błędzie. Absurdalność tej metody widać dokładnie gdy zastosujemy analogiczna metodę do liczb naturalnych i gdy przyjmiemy te same wnioski, tzn. gdy zamiast numerować liczby rzeczywiste zaczniemy numerować liczby naturalne a kolejne cyfry liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) tworzymy wg zasady:

jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu od przodu jedną z cyfr 0,1,...8, to liczba \(\displaystyle{ \alpha}\) ma na k-tym miejscu cyfrę o 1 większą;
jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu od przodu cyfrę 9, to liczba \(\displaystyle{ \alpha}\) ma na k-tym miejscu cyfrę 0.

2 6 7 8 8 8 9 2 8 7 1 7 7 4 3 ...
2 7 1 6 7 3 8 2 0 9 8 3 0 9 8 ...
2 1 9 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ...
3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 2 2 ...
2 1 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 ...
9 5 4 1 1 2 1 2 2 8 9 3 4 5 7 ...
7 3 9 2 0 8,0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...

"W naszym przykładzie liczba \(\displaystyle{ \alpha}\) wyglądałaby tak:

3802331...

W efekcie liczba naturalna \(\displaystyle{ \alpha}\) od pierwszej liczby ciągu różni (co najmniej) pierwszą cyfrą, od drugiej liczby ciągu różni (co najmniej) drugą cyfrą, od siódmej różni się ilością cyfr ... od k-tej liczby ciągu różni (co najmniej) k-tą cyfrą lub ilością cyfr. Tzn. liczba \(\displaystyle{ \alpha}\) nie występuje w ciągu, wbrew temu, że ciąg zawierał wszystkie liczby naturalne. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory liczb naturalnych i naturalnych nie są równoliczne." Co jest absurdem.

Nie jest to jednak prawdziwy paradoks. Bowiem tworzymy nieskończoną liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) w taki sposób żeby nie znaleźć jej w ciągu wszystkich liczb naturalnych czy rzeczywistych, i tyle, nie ma żadnego przejścia od tego do tego, że liczb naturalnych jest mniej od liczb naturalnych czy rzeczywistych.

Proste, prawda? Dlaczego więc nikt do tej pory na to nie wpadł. Czyżbym był w błędzie? Ale gdzie?

A jak zapiszesz w tym ciągu liczbę \(\displaystyle{ 1}\)?-- 11 gru 2016, o 13:11 --I jaka liczbę NATURALNĄ reprezentuje ten Twoj nieskończony ciąg?

a4karo pisze:A jak zapiszesz w tym ciągu liczbę \(\displaystyle{ 1}\)?

1,0000000...

I jaka liczbę NATURALNĄ reprezentuje ten Twoj nieskończony ciąg?

W tym przypadku 3802331...

Sorry, odpadam z tej konkurencji...

Dlatego, że nie chcesz mi wyjaśnić gdzie jestem w błędzie, czy dlatego, że nie wiesz?

to wszystko się w ogóle kupy nie trzyma, bo każda liczba naturalna ma tylko skończenie wiele cyfr

to wszystko się w ogóle kupy nie trzyma, bo każda liczba naturalna ma tylko skończenie wiele cyfr

Każda konkretna. U mnie i u Cantora \(\displaystyle{ \alpha}\) nie jest konkretna.

Jeżeli mamy konkretną liczbę pierwszą to wiemy, że ma ona dokładnie 2 dzielniki naturalne.Ale gdy jest niekonkretna to może mieć więcej...
Trochę dziwna ta logika

Trylemat Agryppy pisze:Każda konkretna. U mnie i u Cantora \(\displaystyle{ \alpha}\) nie jest konkretna.

co to jest konkretna liczba?

Trochę poza tematem, pamiętam, że był kiedyś tutaj na forum temat, gdzie ktoś tworzył swoją wizję matematyki. To był totalny odlot, wiem, że chyba miał nawet jakieś swoje forum i grono zwolenników. Wszystko pokroju popularnych ostatnio reptylian. Pamięta ktoś to? A może ja byłem w tamtych czasach takim ignorantem, że tego nie rozumiałem. Może ma ktoś linka?

Takie miałem skojarzenie po przeczytaniu przede wszystkim tytułu .

PS. Tworzył chyba jakąś rewolucyjną logikę.

-- 11 gru 2016, o 16:39 --

Już wiem. To była chyba Algebra Kubusia. Natknąłem się na to chyba z dwa lata temu .
32360.htm

Chodzi pewnie o .

I to jest naprawdę imponujące, ile pracy musiano włożyć w powstanie tych wszystkich tematów.


A do rzeczy, Trylemat Agryppy: metoda przekątniowa polega na rozpatrzeniu dowolnego ciągu liczb rzeczywistych i skonstruowaniu liczby rzeczywistej, której w tym ciągu nie ma. Jeśli twierdzisz, że analogicznie można zrobić dla liczb naturalnych, to opisz możliwie dokładnie, jaką liczbę naturalną skonstruujesz dla zwyczajnego ponumerowania liczb naturalnych:

\(\displaystyle{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ \vdots \\ 378 \\ 379 \\ \vdots}\)

Pamiętaj, że aby skonstruować liczbę naturalną, nie wystarczy podać ciągu jej cyfr (jak było w przypadku liczb rzeczywistych), bo nie każdy ciąg cyfr reprezentuje liczbę naturalną, np. \(\displaystyle{ 11111\ldots.}\)

Dasio11 pisze:Chodzi pewnie o

Kod: Zaznacz cały

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/

.

I to jest naprawdę imponujące, ile pracy musiano włożyć w powstanie tych wszystkich tematów.

Tak, to miałem na myśli. Wow, temat na matematyce powstał w 2007, a na "śfini" tematy prowadzone są do dzisiaj . Podziwiam zaangażowanie. Ale już nie rozmywam tematu.

Jeśli twierdzisz, że analogicznie można zrobić dla liczb naturalnych, to opisz możliwie dokładnie, jaką liczbę naturalną skonstruujesz dla zwyczajnego ponumerowania liczb naturalnych:

Tylko, że tych liczb jest nieskończenie wiele, więc liczba reprezentująca ponumerowane liczby całkowite to w zasadzie nieskończoność \(\displaystyle{ \infty}\). O ile możemy nazwać nieskończoność liczbą.
Tak samo jest z rzeczywistymi z przedziału Cantora \(\displaystyle{ [0 , 1]}\)
\(\displaystyle{ 0 \rightarrow 1\\
0,1 \rightarrow +1 \cdot 9\ (9\ \mbox{ponieważ biorę od razu }0,2\ 0,3\ ...\ 0,9)\\
0,01 \rightarrow +1 \cdot 9\\
... \rightarrow ...\\
0,001 \rightarrow +9\\
0,0001 \rightarrow +9\\
... \rightarrow \infty}\)
W zasadzie to można skonstruować l. całkowite usuwając pierwsze zero, bądź zera liczbom rzeczywistym z przedziału \(\displaystyle{ (0,1]}\)

Pamiętaj, że aby skonstruować liczbę naturalną, nie wystarczy podać ciągu jej cyfr (jak było w przypadku liczb rzeczywistych), bo nie każdy ciąg cyfr reprezentuje liczbę naturalną, np. \(\displaystyle{ 11111...}\)

Nie rozumiem.

Trylemat Agryppy pisze:

Jeśli twierdzisz, że analogicznie można zrobić dla liczb naturalnych, to opisz możliwie dokładnie, jaką liczbę naturalną skonstruujesz dla zwyczajnego ponumerowania liczb naturalnych:

Tylko, że tych liczb jest nieskończenie wiele, więc liczba reprezentująca ponumerowane liczby całkowite to w zasadzie nieskończoność \(\displaystyle{ \infty}\) O ile możemy nazwać nieskończoność liczbą.
Tak samo jest z rzeczywistymi z przedziału Cantora [0 , 1]
0 →1
0,1 → +1*9 (9 ponieważ biorę od razu 0,2 0,3 ... 0,9)
0,01 → +1*9
... → ...
0,001 → +9
0,0001 → +9
... → \(\displaystyle{ \infty}\)
W zasadzie to można skonstruować l. całkowite usuwając pierwsze zero, bądź zera liczbom rzeczywistym z przedziału (0,1]

Nie rozumiem.

timon92, Powinno być bez "... → ..."
Zliczam l. rzeczywiste zero jest jedno, 0,1 0,2 0,3 ... 0,9 jest 9 itd. Wynik ten sam co przy zliczaniu naturalnych, całkowitych.