Matematyka.pl

Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2} }+ \frac{1}{b ^{2} }=1}\) to \(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} \ge (a+b)^{2}}\) (Jesteśmy w świecie liczb rzeczywistych)
Niby rozwiązałem tą nie równości jednak mi wyszło, że jeśli Dziedzinę wyznaczymy na R/<-1,1> to \(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} > (a+b)^{2}}\) zastanawiam się gdzie mogłem popełnić błąd. Najbardziej mnie zastanawia czy to nie był błąd przy wyznaczaniu dziedziny, bo jeśli a=1 lub -1, natomiast b byłoby nieskończenie blisko zero to czy w tym przypadku dziedziną nie było by R/(-1,1) Czy może to błąd autora?

Liczba \(\displaystyle{ a}\) nie może wynosić \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\)
D:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \in (- \infty ,-1) \cup (1, \infty ) \\ |b|= \sqrt{ 1+ \frac{1}{a^2-1}}>1 \end{cases}}\)

Zwykle inni rozwiązują nierówności więc nie mogłem sobie odmówić przy tak rzadkiej okazji.
Robiłbym tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}=1 \Rightarrow a^2b^2=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ L=a^4+b^4=2 \cdot \frac{a^4+b^4}{2} \ge 2 \sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2=(a^2+b^2)+(a^2+b^2)=\\=(a+b)^2-2ab+a^2+b^2= (a+b)^2+(a-b)^2 \ge (a+b)^2=P}\)

Ze zły wzorek sobie wymyśliłem , dlatego dziwne rzeczy wyszły. Dzięki za odpowiedź. Jeszcze pytanko czy jest jakiś wzorek na wyznaczanie sumy potęg parzystych? \(\displaystyle{ a^{2n}+ b^{2n}}\)

Nieco inne rozwiązanie:
zastosujmy nierówność Cauchy'ego-Schwarza.

\(\displaystyle{ a^4+b^4=\left( a^4+b^4\right)\left( \frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2} \right)=\\=\left( (a^2)^2+(b^2)^2\right) \left( \left( \frac 1 a\right)^2+\left( \frac 1 b\right)^2 \right) \ge \left(a^2\cdot \frac 1 a+b^2\cdot \frac 1 b \right)^2 =(a+b)^2}\)

-- 7 gru 2016, o 20:08 --

Jeszcze pytanko czy jest jakiś wzorek na wyznaczanie sumy potęg parzystych? \(\displaystyle{ a^{2n}+ b^{2n}}\)

nie.

ajlofmath pisze:Jeszcze pytanko czy jest jakiś wzorek na wyznaczanie sumy potęg parzystych? \(\displaystyle{ a^{2n}+ b^{2n}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a>0\ i\ b>0}\), to można ją przedstawić w postaci iloczynu
\(\displaystyle{ a^{2n}+ b^{2n}=a^{2n}+ b^{2n}+2a^nb^n-2a^nb^n=(a^n+b^n)^2-\left( \sqrt{2a^nb^n} \right)^2=}\)
\(\displaystyle{ =\left(a^n+b^n- \sqrt{2a^nb^n} \right) \cdot \left(a^n+b^n+ \sqrt{2a^nb^n }\right)}\)

kinia7 pisze:[...] Jeśli \(\displaystyle{ a>0\ i\ b>0}\) [...]

W innych przypadkach też.

zwłaszcza wtedy, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste i \(\displaystyle{ a<0<b}\)