dowod na niewymiernosc

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
pietruchaikoper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 18:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z pola

dowod na niewymiernosc

Post autor: pietruchaikoper » 10 wrz 2007, o 18:28

\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\)

Poprawiam zapis. Polecam poczytać instrukcję LaTeXa z Ogłoszenia. Calasilyar
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 18:56 przez pietruchaikoper, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

dowod na niewymiernosc

Post autor: DEXiu » 10 wrz 2007, o 19:12

Niemal identyczny (tylko nieco bardziej skomplikowany :wink: ) problem został rozwiązany dosłownie dwa posty niżej --> link
Ale proszę:
Załóżmy nie wprost, że liczba \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) jest wymierna. Wówczas wymierna będzie także liczba \(\displaystyle{ x^{2}=5+2\sqrt{6}}\). A to już oczywiście nieprawda Sprzeczność

pietruchaikoper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 18:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z pola

dowod na niewymiernosc

Post autor: pietruchaikoper » 10 wrz 2007, o 20:06

a moglby mi to ktos bardziej rozpisac? bo ja jutro to robie na ocene a boje sie ze cos pomyle jak bede sama to rokladac ??:

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7106
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2627 razy
Pomógł: 687 razy

dowod na niewymiernosc

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 wrz 2007, o 20:11

pietrucha i koper napisała"
a moglby mi to ktos bardziej rozpisac? bo ja jutro to robie na ocene a boje sie ze cos pomyle jak bede sama to rokladac
heh, po prostu DEXiu przeprowadził dowod nie wprost, tj
załozył ze liczba x jest wymierna i uzyskał sprzecznosc:
gdyz prawa strona tego równania jest l. niewymierna
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-5}{2}=\sqrt{6}}\).

pietruchaikoper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 18:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z pola

dowod na niewymiernosc

Post autor: pietruchaikoper » 10 wrz 2007, o 20:22

teraz to jush wogole nie rozumiem

[ Dodano: 10 Września 2007, 20:43 ]
prosze o pomoc

Awatar użytkownika
PFloyd
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 620
Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 122 razy

dowod na niewymiernosc

Post autor: PFloyd » 10 wrz 2007, o 21:23

jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) jest l. wymierną, to \(\displaystyle{ \exists _{p,q R\wedge NWD(p,q)=1} \frac{p}{q}=\sqrt{6}}\)

wtedy
\(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}=6\\
p^2=2\cdot 3\cdot q^2}\)

i już chociażby tutaj widzimy sprzeczność bo \(\displaystyle{ p^2}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze musiałoby mieć 2 w nieparzystej potędze.

Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) jest liczbą niewymierną
a z
\(\displaystyle{ \frac{x^2-5}{2}=\sqrt{6}}\) wynika że w takim razie \(\displaystyle{ \frac{x^2-5}{2}}\) jest niewymierne.

Z tego bezpośrednio wynika że \(\displaystyle{ x^2}\) jest niewymierne czyli \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) jest niewymierne


Jeśli jakiś krok jest niejasny, pisz.

pietruchaikoper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 18:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z pola

dowod na niewymiernosc

Post autor: pietruchaikoper » 10 wrz 2007, o 21:31

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-5}{2}=\sqrt{6}}\).
[/quote]

a jak doszlo do tego dzialania?

Awatar użytkownika
PFloyd
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 620
Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 122 razy

dowod na niewymiernosc

Post autor: PFloyd » 10 wrz 2007, o 22:36

\(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\
x^2=5+2\sqrt{6}\\
\frac{x^2-5}{2}=\sqrt{6}}\)

pietruchaikoper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 18:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z pola

dowod na niewymiernosc

Post autor: pietruchaikoper » 15 wrz 2007, o 13:14

dziekuje

ODPOWIEDZ