Strona 1 z 1
Podzielność przez 100
: 3 gru 2016, o 16:43
autor: Ruahyin
Wykaż, że jeżeli liczba a nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), to liczba:
\(\displaystyle{ a^8+3a^4-4}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 100}\).
Podzielność przez 100
: 3 gru 2016, o 16:59
autor: Premislav
Wskazówka:
\(\displaystyle{ a^8+3a^4-4=(a^4-1)(a^4+4)}\)
Wystarczy wykazać podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 25}\).
Skoro \(\displaystyle{ 5\nmid a}\), to z MTF mamy \(\displaystyle{ a^4\equiv 1\pmod{5}}\) i łatwo wywnioskować, że cały iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 25}\).
Dalej: jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzysta, to a\(\displaystyle{ ^2 \equiv 1\pmod{4}}\), więc \(\displaystyle{ a^4\equiv 1\pmod{4}}\), zaś w przypadku gdy \(\displaystyle{ a}\) jest parzysta przyjrzyj się czynnikowi \(\displaystyle{ a^4+4}\).