Matematyka.pl

Wykaż, że jeśli liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c}\) są długościami boków trójkąta prostokątnego, to
przynajmniej jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Bez straty ogólności niech c będzie przeciwprostokątną, tj.
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\) z twierdzenia Pitagorasa.
Następnie wykaż, że kwadrat liczby naturalnej nie może dawać reszty \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) i skorzystaj z tego faktu.

Moze to bez sensu ale co w przypadku gdy \(\displaystyle{ a ^{2}}\)i\(\displaystyle{ b^{2}}\) dają reszty 1. Wtedy \(\displaystyle{ c^{2}}\) nie może dawać reszty 2 więc sprzeczność. Czyli zadna nie jest podzielna przez 3?

Właściwą konkluzją jest stwierdzenie, że nie istnieją takie \(\displaystyle{ a,b,c \in \NN}\),
że \(\displaystyle{ a ^2}\) i \(\displaystyle{ b^2}\) dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) oraz jednocześnie zachodzi \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)


Pozostają więc przypadki, w których któraś z liczb \(\displaystyle{ a^2, b^2}\) daje resztę zero z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\), ale \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą, więc jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ x \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ 3|x^2}\), to także \(\displaystyle{ 3|x}\)