granica funkcji

[viola14]

Mam następujący problem. Należy obliczyć granicę funkcji.
\(\displaystyle{ \lim_{z \to 0} \frac{Re(z)}{z}}\)
Z moich obliczeń wynika, że granica nie istnieje jednak różne programy, w tym Wolfram pokazują, że wychodzi 1. Dlaczego?
Co za tym idzie, czy funkcja
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{Re(z)}{z}, \; z \neq 0\\1, z=0 \end{array}\right.}\)
jest ciągła?

[squared]

Wstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Masz wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{\Re(z)}{z}=\frac{x}{x+iy}=\frac{x(x-iy)}{x^2+y^2}=\frac{x^2-xyi}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{x^2+y^2}+i\frac{-xy}{x^2+y^2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{z \to 0} \frac{Re(z)}{z} \Leftrightarrow \lim_{x,\to 0, y\to 0} \Re \left( \frac{\Re(z)}{z}\right) \wedge \lim_{x\to 0, y\to 0} \Im \left( \frac{\Re(z)}{z}\right) \Leftrightarrow \lim_{x\to 0, y\to 0} \left(\frac{x^2}{x^2+y^2} \right) \wedge \lim_{x\to 0, y\to 0} \left( \frac{-xy}{x^2+y^2}\right)}\)

A obie granice dążą do zera.

[a4karo]

A co, gdy dążymy do zera po rzeczywistych?

-- 30 lis 2016, o 21:04 --

Ta granica nie istnieje. Wołam nie jest mistrzem, jeżeli chodzi o granice funkcji wielu zmiennych.

[viola14]

Wydaje mi się właśnie, że granice
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0, y\to 0} \left(\frac{x^2}{x^2+y^2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0, y\to 0} \left( \frac{-xy}{x^2+y^2}\right)}\)
nie istnieją, ale nie byłam pewna właśnie przez Wolframa.
Dziękuję za pomoc.

[squared]

Oczywiście, że nie istnieją, to ta widoczne jest. Zresztą można granice iterowane policzyć.

[Premislav]

Oczywiście, że istnieją (bo to właśnie są granice iterowane i pierwsza wychodzi równa \(\displaystyle{ 1}\), a druga -równa \(\displaystyle{ 0}\)), ale nie są równe, co wyklucza istnienie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left(\frac{x^2}{x^2+y^2} \right)}\)

[squared]

Oczywiście, że nie istnieją dotyczyło granic wyjściowych (nie iterowanych)