Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mix2003
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 2 sie 2007, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą

Post autor: mix2003 » 10 wrz 2007, o 15:40

Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej na zbiorze \(\displaystyle{ D= \{(x,y) R^2 : x qslant 0 |x|+|y| qslant 1\}}\)i mającej wzór:
\(\displaystyle{ f(x,y) = x^2 - xy + y^2 -2x +y}\)

[ Dodano: 10 Września 2007, 15:41 ]
chciałbym aby wszystko zostało wyjaśnione po kolei, jak rozwiązać to zadanie


Wyrażenia zapisuj w całości w LaTeX-u. Staranniej dobieraj działy w których umieszczasz zadania.
max
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 15:49 przez mix2003, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą

Post autor: Kasiula@ » 10 wrz 2007, o 16:51

Obszar D jest trójkatem ograniczonym przez proste: y=x+1, y=-x-1, x=0

Znajdujemy najpierw punkty we wnątrzu rozważanego obszaru,w którym funkcja f może mieć ekstrema. Z warunku koniecznego:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2x-y-2=0 \frac{\partial f}{\partial y}=2y-x+1=0}\)
mamy,że funkcja może mieć ekstremum w punkcie (1,0),ale ten punkt nie należy do wnętrza D,ponad to nie należy on wogóle do D.

Zbadamy teraz funkcje f na brzegach obszaru,który składa sie z trzecg odcinków. Badanie funkcji na brzegu oznacza jej analizę odpowiednio na prostych:

\(\displaystyle{ I. x=0, -1\leqslant y qslant 1}\)
\(\displaystyle{ II. y=-x-1, -1\leqslant x qslant 0}\)
\(\displaystyle{ III. y=x+1, -1\leqslant x qslant 0}\)

Mamy zatem:
\(\displaystyle{ I. f(0,y)=y^{2}+y, -1\leqslant y qslant 1}\)
\(\displaystyle{ II. f(x,-x-1)=3x^{2},-1\leqslant x qslant 0}\)
\(\displaystyle{ III. f(x,x+1)=x^{2}+2,-1\leqslant x qslant 0}\)

Aby obliczyć ekstrema powyższych funkcji,liczymy ich pochodną i przyrównujemy do zera,a następnie sprawdzamy czy należą do danego przedziału,czyli:
\(\displaystyle{ I.y=-\frac{1}{2} -1\leqslant y qslant 1}\)
\(\displaystyle{ II.x=0 -1\leqslant x qslant 0}\)
\(\displaystyle{ III.x=0 -1\leqslant x qslant 0}\)

Funkcje z punktów I.,II.,III. mogą przyjmować wartości ekstremalne w wyliczonych punktach jak równiez na końcach przedziału. Czyli punktami podejrzanymi o ekstremum są:
\(\displaystyle{ I. (0,-1), (0,-\frac{1}{2}), (0,1)}\)
\(\displaystyle{ II. (0,-1), (-1,0)}\)
\(\displaystyle{ III. (0,1),(-1,0)}\)

Obliczamy wartość funkcji f w tych punktach i wybieramy te punkty w których wartość jest największa i najmniejsza.

ODPOWIEDZ