Zastosowanie liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Michu87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lut 2007, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pozek
Podziękował: 3 razy

Zastosowanie liczb zespolonych

Post autor: Michu87 » 10 wrz 2007, o 12:51

Witam, mam problem z zadaniem o treści:
Wykaż, że suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego boków.

Jesli za literami a i b oznaczymy boki, a d1 i d2 przekątne, to udowodnić trzeba, że \(\displaystyle{ 2a^2+2b^2=d_1^2+d_2^2}\). Oczywiste.
Część rozwiązania wymyśliłem, ale niestety utknąłem.

Boki a i b są modułami 2 liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1}\) i\(\displaystyle{ z_2}\), jedna z przekątnych jest sumą tych modułów. Nie mogę jednak wykombinować co z drugą przekątną? (jeśli ktoś nie potrafi wyobrazić sobie o czym mówię to tu znajduje się bardzo poglądowy rysunek img519.imageshack. us/img519/1791/pogladowyus4.gif (przed us jest spacja, którą należy usunąć)

Może mała podpowiedź?

TiA

P.S. do moderatorów - jestem zarejestrowany dlużej niż 7 dni, a nie mogę wkleić linka. Napisałem też więcej niż 1 post (dość dawno temu) Jakiś błąd?
Ostatnio zmieniony 13 sty 2008, o 12:58 przez Michu87, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Zastosowanie liczb zespolonych

Post autor: Sir George » 10 wrz 2007, o 17:33

Niestety, ale rozumujesz błędnie:
misiekb pisze:jedna z przekątnych jest sumą tych modułów
Nie! Długość jednej z przekątnych, to moduł sumy owych liczb zespolonych, a długość drugiej to moduł ich różnicy.
Czyli jeśli \(\displaystyle{ a=|z_1|,\quad b=|z_2|}\)
to \(\displaystyle{ d_1=|z_1+z_2|,\quad d_2=|z_1-z_2|}\)
Aby zakończyć dowód wystarczy jeszcze skorzystać z faktu \(\displaystyle{ |z|^2=z\cdot\bar{z}}\)

drawiam

Michu87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lut 2007, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pozek
Podziękował: 3 razy

Zastosowanie liczb zespolonych

Post autor: Michu87 » 11 wrz 2007, o 00:41

jej, zrozumiałem ^^
dzieki

[ Dodano: 11 Września 2007, 13:12 ]
gdyby ktoś kiedyś miał taki problem, to może mu sie przyda, choć dalsze rozwiązanie to chyba formalność:
\(\displaystyle{ |z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2 = |z_1+z_2|\cdot|\overline{z_1}+\overline{z_2}|+|z_1-z_2|\cdot|\overline{z_1}-\overline{z_2}|=|z_1|^2+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+|z_2|^2+|z_1|^2-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+|z_2|^2=2|z_1|^2+2|z_2|^2}\)
q.e.d

ODPOWIEDZ