Zbieżność i promień zbieżności szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
digital87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 13 cze 2007, o 00:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rwa

Zbieżność i promień zbieżności szeregu

Post autor: digital87 » 10 wrz 2007, o 10:55

Zbadać czy szereg jest zbieżny:
\(\displaystyle{ \sum\frac{1}{3^{n}}}\)


Obliczyć promień zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum\frac{n^{2}}{n^{2}+1}}\)\(\displaystyle{ x^{n}}\)

Bardzo prosze o szkic rozwiązań krok po kroku bo jestem z tego zielony a podobno takie identyczne mają być jutro na poprawce ... z góry dzięki !

_____
"!!!" - ozdobnik?!
bolo
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 14:29 przez digital87, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Zbieżność i promień zbieżności szeregu

Post autor: Calasilyar » 10 wrz 2007, o 12:40

1) kryterium d'Alemberta :arrow: szereg zbieżny
2)
twierdzenie d'Alemberta
\(\displaystyle{ g=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=...=1\\
R=\frac{1}{g}=1}\)

digital87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 13 cze 2007, o 00:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rwa

Zbieżność i promień zbieżności szeregu

Post autor: digital87 » 10 wrz 2007, o 13:56

dziękuje, ale mam jeszcze prośbe, czy mógłbys mi to opisać w sposób dla "zielonych" ... ?? nie chodziło mi o samą odpowiedź z jakiego to kryterium i czy zbiezny czy tez rozbiezny tylko o totalny szkic rozwiązania bo nie wiem o co biega z tym d"Alembertem ... Bardzo prosze i jeszcze raz z góry dzięki

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Zbieżność i promień zbieżności szeregu

Post autor: Calasilyar » 10 wrz 2007, o 14:27

1)
Kryterium zbieżności d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{3^{n}}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}}\)

2)
twierdzenie d'Alemberta
\(\displaystyle{ g=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}+1}\cdot \frac{n^{2}+1}{n^{2}}|=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{n^{4}(1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}})}{n^{4}(1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^{2}})}|=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}}}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^{2}}}|=1\\
g=1\\
R=\frac{1}{g}=1}\)

digital87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 13 cze 2007, o 00:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rwa

Zbieżność i promień zbieżności szeregu

Post autor: digital87 » 10 wrz 2007, o 14:51

a gdzie w drugim zadaniu podziało Ci się \(\displaystyle{ x^{n}}\) ????

KIT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 13 kwie 2005, o 22:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wola Baranowska

Zbieżność i promień zbieżności szeregu

Post autor: KIT » 10 wrz 2007, o 15:09

digital87 pisze:a gdzie w drugim zadaniu podziało Ci się \(\displaystyle{ x^{n}}\) ????
\(\displaystyle{ x^{n}}\) nie bierze się pod uwagę

digital87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 13 cze 2007, o 00:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rwa

Zbieżność i promień zbieżności szeregu

Post autor: digital87 » 10 wrz 2007, o 15:18

Ehh to już wiem dlaczego ulałem egzamin policzyłem x^n z kryterium Lamberta i pomnożyłem Dzięki wielkie

ODPOWIEDZ