Matematyka.pl

moze mi ktos wyjasnic wynik tej macierzy podniesionej do \(\displaystyle{ n}\)?
Jak mnoze macierz przez macierz (np do potegi 2) to \(\displaystyle{ x _{11}}\) ma postac \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha&-\sin ^{2} \alpha&}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos \alpha&-\sin \alpha\\ \sin \alpha&\cos \alpha\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\ \sin n\alpha&\cos n\alpha\end{array}\right]}\)

No i w tym nie ma żadnej sprzeczności, bo
\(\displaystyle{ \cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\cos 2\alpha}\)

-- 25 lis 2016, o 17:18 --

A ten wzorek można łatwo udowodnić indukcyjnie:
dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawda, bo po lewej i po prawej mamy po prostu
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]}\)

Teraz drugi krok indukcyjny: załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\ \sin n\alpha& \cos n\alpha\end{array}\right]}\)
Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]^{n+1}=\left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]^{n}\left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]=\\=\left[\begin{array}{cc}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\ \sin n\alpha& \cos n\alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]=\\=\left[\begin{array}{cc}\cos n\alpha\cos \alpha-\sin n\alpha\sin \alpha&-\sin\alpha \cos n \alpha-\sin n\alpha\cos \alpha\\ \sin n\alpha \cos \alpha+\cos n\alpha \sin \alpha&-\sin n\alpha \sin \alpha+\cos n\alpha \cos \alpha\end{array}\right]}\)
Następnie korzystasz w lewym górnym rogu ze wzoru na cosinus sumy, w prawym górnym rogu ze wzoru na sinus sumy, w lewym dolnym rogu ze wzoru na sinus sumy i w prawym dolnym rogu ze wzoru na cosinus sumy i masz tezę.