Matematyka.pl

Na ile sposobów można przedstawić liczbę \(\displaystyle{ n}\) jako sumę kolejnych składników ?

Np. \(\displaystyle{ 15= 1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8}\)

itp.

\(\displaystyle{ \sigma - 1}\), gdzie \(\displaystyle{ \sigma}\) to liczba nieparzystych dzielników \(\displaystyle{ n}\)

dec1, a mógłbyś proszę podać dowód/szkic dowodu/źródło dowodu?

Z \(\displaystyle{ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}\), musimy znaleźć liczbę rozwiązań \(\displaystyle{ 2n=(a+b)(a-b+1)}\) w liczbach naturalnych.

Niech \(\displaystyle{ k, l}\) będą dzielnikami \(\displaystyle{ 2n}\) takimi, że \(\displaystyle{ kl=2n}\), wtedy musimy rozwiązać \(\displaystyle{ k=a+b}\) i \(\displaystyle{ l=a-b+1}\), skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ a=\frac{k+l-1}{2}}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{k-l+1}{2}}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są różnej parzystości, zatem ta parzysta z nich musi dzielić się przez \(\displaystyle{ 2}\) tyle samo razy co \(\displaystyle{ 2n}\). Niech \(\displaystyle{ 2n=2^c d}\). Z tego wnioskujemy, że rozwiązań tych równań jest tyle, ile dzielników ma \(\displaystyle{ d}\), czyli nie licząc sumy składającej się tylko z \(\displaystyle{ n}\), jest ich \(\displaystyle{ \mathop{\sigma_0} (d)-1}\).

Dzięki.