Miary

Archiwum kompendium.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7053
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2625 razy
Pomógł: 687 razy

Miary

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 wrz 2007, o 00:51

Jeśli idzie o sam termin, to w sensie definicji, pod pojęciem tym rozumiemy sobie dowolną funkcję, ale o wartościach nieujemnych, i t. że zachodzi warunek addytywności poniżej wypisany , ale co ważne m. nie jest z reguły określona dla wszystkich podzbiorów danej przestrzeni. Zbiory, dla których ona istnieje nazywa się mierzalnymi, i tworzą one specjalną rodzinę- tj. algebrę. Dla niektórych m. tworzy się tzw. grupę przekształceń, które nie zmieniają m. zb., z istotnymi m. mamy wtedy do czynienie, jeśli są to wszystkie izometrie. a mozna też brać pod uwagę np. przesuniecia i uzyskiwać inne klasy,etc

:arrow: \(\displaystyle{ \mu(\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n})=\sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_n)}\)
gdy \(\displaystyle{ A_j \cap A_j}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\)


Nazwiemy, o m. u zupełną, jeśli każdy podzbiór zbioru miary zero jest zb. u mierzalnym i jego miara też wynosi zero.:
:arrow: Uwaga: Każdą miara określona na S może być rozszerzona do m. zupełnej, określonej na większej sigma- algebrze R.... i można uczynić to tak: należy zamiast S wziąsc rodzinę R wszystkich zbiorów B postaci, gdzie A należy do S, żas N jest dowolnym podzbiorem jakiegoś zbioru miary zero. Tak utworzone R jest sigma slgebrą i ..miara \(\displaystyle{ \mu_0}\) określona na R jak poniżej jest już zupełna.

\(\displaystyle{ B= A \cup N}\)
:arrow: \(\displaystyle{ \mu_{0}(B)=\mu(A)}\)


Def
Uporzadkowaną trójkę (X, S , \(\displaystyle{ \mu}\) ) gdzie S jest ..nazywamy przestrzenia z miarą. m. zwiemy unormowaną, jeśli miara całej przestrzeni X wynosi jeden, ....i tak przykładem bedzie funkcja , okreslona w sposób jak ponizej jest miarą - co łątwo pokazać, ...także i zupełna. zwie się ona miara Diraca (skupiona w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\)).


\(\displaystyle{ \delta_{x_0}(A) = \left\{\begin{array}{l} 0 \ \ x_0 \notin A \\ 1 \ \ x_0 \in A \end{array}}\)

:arrow: Dalsze przykłądy: każda geom. m powierzchni prostokąta to iloczyn długości jego dwóch kolejnych boków, moc zbioru jest też miarą- ozn l, to tzw, m. licząca,... prawdopodobieństwo jest m. unormowaną, inny model m. długość odcinka- dalsze uogólnienie: łuku,- rozumiany jako odl. miedzy jego końcami,itd.


Miara Jordana
Płaszczyznę pokrywa się siatką złożona z kwadratów o boku ustalonym. Następnie zlicza się sumę pól tych kwadracików, które mają punkty wspólne z figurą F, otrzymujac liczbę z1(F) i sumę pól tych które są zawarte w F -dostajemy w1(F). Potem zagęszcza się siatkę i po kolejnym zliczeniu mamy liczby z2(F) i w2(F), ...itd. Operacje to kontynuue sie i uzyskuje dwa ciągi zj(F) i wj(F). Są one dla każdej f. ograniczonej zbieżne. Jeśli mają wspólną granicę, -która ozn. m(F)- to nasza figura F jest mierzalna.


Miara Lebesquea
Niech \(\displaystyle{ B(R^n)}\) będzie \(\displaystyle{ \sigma}\) algebrą zbiorów borelowskich w R^n i niech D bedzie zbiorem wszystkich przedziałów półotwartych w \(\displaystyle{ R^n}\). Okreslamy na D f. l jak następuje, wtedy \(\displaystyle{ \lambda}\) daje się rozszerzyć w sposób jednoznaczny do m. ln na B(Rn),. Jest to m. o jaką nam chodzi.
Uwaga: m. Lebesque'a nie jest m. zupełna,bo podzbiór zbioru borelowskiego m. zero nie musi być w \(\displaystyle{ B(R^n)}\), ale jak wiemy mozna ją do takowej uzupełnić...co też czynimy. Wtedy też Uzywamy nan standardowo oznaczen m lub ln.

:arrow:
\(\displaystyle{ a, b \in R^n \ a=(a_1, ....a_n), b=(b_1, ..., b_n)}\)
\(\displaystyle{ (a,b)=(a_1, b_1) \times....\times(a_n, b_n)}\)
\(\displaystyle{ \lambda(a,b)=(b_1-a_1)....(b_n-a_n)}\)


Singularnosc
Mówimy, że miara \(\displaystyle{ \lambda}\) jest absolutnie ciągła względem \(\displaystyle{ \mu}\), jesli warunek \(\displaystyle{ \mu(E)=0}\) pociąga za sobą \(\displaystyle{ \lambda(E)=0}\). Piszemy wtedy \(\displaystyle{ \lambda }\). Dalej - \(\displaystyle{ \mu}\) bedzie skupiona na zbiorze E. wtw, gdy warunek \(\displaystyle{ A \cap E =\emptyset}\) implikuje \(\displaystyle{ \mu(A)=0}\)*. Z kolei \(\displaystyle{ \lambda_1, \ \lambda_2}\), są singularne,- czasami mowi sie ortogonalne, jeśli są skupione na pewnych dwóch zbiorach rozłacznych. co notujemy: \(\displaystyle{ \lambda_1 \perp \lambda_2}\).
*Uwaga Jak już wiemy, ... -modelem jest tutaj m. Diraca, z E={x0}.


Zadania
1. Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą określoną na S, i dany jest skończony ciąg zbiorów, Aj parami rozłacznych, to
\(\displaystyle{ \mu(\bigcup A_j) = \sum \mu(A_j)}\)
2. Wykaż, że gdy \(\displaystyle{ E \subset F}\) , gdzie \(\displaystyle{ E, F \in S}\), to \(\displaystyle{ \mu(E) \leq \mu(F)}\) . wyciagnać stad wniosek: o ile \(\displaystyle{ E \subset F}\) i \(\displaystyle{ \mu(E) }\), to \(\displaystyle{ \mu(F -E) = \mu(F)-\mu(E)}\),
3. a Przypuśćmy, że w przestrzeni X, S zadany jest ciąg zbiorów mierzalnych i t że \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2 \subset ....}\) to wtedy: (sformułować analogiczna własnosc dla rodziny zbiorów "chudnących"):
\(\displaystyle{ \mu(\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n})=\lim \mu(A_j)}\)

4. Niech N oznacza zbiór liczb naturalnych, S zaś będzie \(\displaystyle{ P(N)}\), a \(\displaystyle{ c_n}\) to pewien ciąg . rzeczywistych t. że \(\displaystyle{ 0 }\). Dla danego \(\displaystyle{ A=\{n_1, n_2, .... \}}\). , gdzie \(\displaystyle{ n_1}\) Wykaż, że określamy w ten sposob miarę:
\(\displaystyle{ \mu(A)=\sum c_{n_j}}\), oraz \(\displaystyle{ \mu(\emptyset)=0}\).
5. Jeśli w przestrzeni (X, S) są określone dwie miary \(\displaystyle{ \mu, u}\). Wykaż, że u+v określone w sposób naturalny, tj \(\displaystyle{ (u+v) (A)=u(A)+v(A)}\) jest także miarą.
6. a Znależc miarę Lebesquea zbiorów
\(\displaystyle{ A= \{( x,y) : x, y \in [0,1] \ sin (x) }\)
*7 Czy prawdą jest że: jesli E jest mierzalny i m(E)>0, to wtedy istnieje zbiór F zawarty w E i t. że m(F)=m(E-F)
Uwaga: m. Lebsque'a ma własność: Zbiór A jest l-mierzalny wtw, gdy dla każdego a>0 istnieją zbiory G otwarty i F domkniety, t ze:
\(\displaystyle{ m(G-F) }\)
\(\displaystyle{ F \subset A \subset G}\)
:arrow:
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 01:09 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ