Matematyka.pl

Mam dany szereg \(\displaystyle{ \pm \sum_{n=-k}^{\infty} a_n b^{-n}}\), gdzie \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą naturalną \(\displaystyle{ \ge 2}\). Poza tym \(\displaystyle{ k \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ a_n}\), \(\displaystyle{ 0 \le a_n < b}\) są liczbami naturalnymi. Gdy znana jest baza, to mogę zapisać ten szereg jako \(\displaystyle{ a_{-k}...a_{-1}a_0.a_1 a_2 a_3...}\)

Czy ten szereg ma jakąś nazwę?

Do tego mam dwa kluczowe twierdzenia, które mowią, że każdy wspomniany szereg ma granicę oraz odwrotne, które mówi, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ b \ge 2}\) można sprowadzić liczbę rzeczywistą do wspomnianego szeregu.

Chciałbym teraz przedstawić liczbę \(\displaystyle{ 1/7}\) jako szereg w różnych systemach. Dochodzę do wniosku, że nie rozumiem tego mimo, że mam podany pewien algorytm. Np. każdą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x, 0 < x <1}\) mogę przedstawić jako
\(\displaystyle{ x = \sum_{k=1}^{\infty} a_k b^{-k}}\). Szkolna wiedza mówi mi, że tak jest w rzeczywistości (chociaż tutaj intuicję mam tylko w systemie dziesiętnym), ale w rzeczywistości tego nie rozumiem. Muszę mieć pewność, że dla \(\displaystyle{ k=0}\) i ewentualnie dla negatywnych \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ a_k}\) będzie równe \(\displaystyle{ 0}\). Dlaczego tak jest?

Poza tym mam następującą uwagę:
\(\displaystyle{ a_1}\) jest największą liczbą całkowitą dla której \(\displaystyle{ a_1 b^{-1} \le x}\). Co to oznacza? Jak spojrzę na rozwiązanie w systemie dwójkowym to mam \(\displaystyle{ 0,001 001...}\) czyli \(\displaystyle{ 0 b^{-1} = 0 \le x}\), a dla \(\displaystyle{ b^{-3}}\) będziemy mieli \(\displaystyle{ 1 b^{-3}}\) czyli większe od zera.

Żeby zapisac liczbę \(\displaystyle{ 0\leq x<1}\) w systemie o podstawie \(\displaystyle{ b}\) postępujesz tak:
Dzielisz odcinek na \(\displaystyle{ b}\) równych odcinków \(\displaystyle{ [ \frac {k}{b}, \frac{k+1}{b})}\) gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,\dots,b-1}\). Jako \(\displaystyle{ a_1}\) wybierasz ten numerek \(\displaystyle{ k}\), w którym leży \(\displaystyle{ x}\).

Teraz tę sama konstrukcję robisz w tym wskazanym odcinku (odcinki podziału maja długośc \(\displaystyle{ 1/b^2}\) itd.

Dla \(\displaystyle{ x>1}\) poprzedzasz ten ciąg zapisem liczby \(\displaystyle{ [x]}\) w systemie o podstawie \(\displaystyle{ b}\)

a4karo, to jest chyba zbyt skomplikowane dla mnie.

W sumie wszystko przemyślałem jeszcze raz i aktualnie mam problem z krokiem indukcyjnym.

Zacznę od początku. Dany jest \(\displaystyle{ x}\). Skonstruowany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_v)_{v \ge -k }}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ 0 \le a_v <b}\), tak że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge -k}\) zachodzi równanie
\(\displaystyle{ x = \sum_{v = -k}^n a_v b^{-v} + p_n}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 \le p_n < b^{-n}}\), które mam udowodnione indukcją i które jest dowodem na to, że z każdej liczby rzeczywistej stworzymy szereg, bo \(\displaystyle{ lim \ n \rightarrow \infty \ p_n = 0}\), więc \(\displaystyle{ x = \sum_{v = -k}^{\infty} a_v b^{-v}}\).

Co muszę więc zrobić, żeby przedstawić liczbę rzeczywistą, w moim wypadku \(\displaystyle{ 0 < x <1}\) za pomocą szeregu? Muszę ustalić algorytm, który skonstruuje mi taki ciąg \(\displaystyle{ (a_v)_{v \ge -k}}\) jak powyżej.

No to sobie ustalam \(\displaystyle{ a_{v} = 0}\) dla \(\displaystyle{ v \le 0}\). Dalej wybieram największą możliwą liczbę \(\displaystyle{ a_1}\) taką że \(\displaystyle{ a_1 b^{-1} \le x}\) co oczywiście mogę zrobić. Jeżeli \(\displaystyle{ a_1 , ..., a_{k-1}}\) są ustalone to wybieram największą możliwą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ a_k}\) tak że
\(\displaystyle{ a_k b^{-k} \le x - (a_1 b^{-1} + ... + a_{k-1} b^{-k +1})}\) co jest równoważne z
\(\displaystyle{ a_k \le x b^k - a_1 b^{k-1} - ... - a_{k-1} b =: y_k}\). Więc algorytm wygląda następująco
\(\displaystyle{ y_1 := xb}\), \(\displaystyle{ a_1 : = floor(y_1)}\)
\(\displaystyle{ y_{k+1} := (y_k - a_k) b}\)
\(\displaystyle{ a_{k+1} := floor(y_{k+1})}\).

Zostaje sprawdzić indukcyjnie, że taki algorytm spełnia równanie o którym pisałem. Algorytm został skonstruowany dla \(\displaystyle{ a_1}\) i większych indeksów, dlatego \(\displaystyle{ n \le 0}\) sprawdzę "ręcznie". Dla \(\displaystyle{ n \le 0}\) mamy
\(\displaystyle{ p_n}\) i ustalmy teraz \(\displaystyle{ p_n = x}\), więc mamy \(\displaystyle{ 0 \le p_n < b < b^{-n}}\), więc wszystko gra.

Teraz początek indukcyjny czyli \(\displaystyle{ n=1}\):
Wiemy z naszego algorytmu, że \(\displaystyle{ a_1 = floor(xb)}\) czyli \(\displaystyle{ a_1 \in \{0, 1, ..., b-1\}}\) (bo \(\displaystyle{ x<1}\)) i istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ q}\), taka że \(\displaystyle{ 0 \le q <1}\) oraz \(\displaystyle{ x b = a_1 + q}\). Definiujemy \(\displaystyle{ 0 \le p_1 := q \cdot b^{-1} < b^{-1}}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ x = a_1 b^{-1} + p_1}\) co kończy dowód dla \(\displaystyle{ n=1}\), więc wszystko w porządku.

Krok indukcyjny:
Prawdą jest \(\displaystyle{ 0 \le p_n b^{n+1} < b}\) co wiemy z założenia. Następnie \(\displaystyle{ a_{n+1} \in \{0, 1, ..., b-1\}}\), tego akurat nie wiem, ale powinno w jakiś sposób wynikać z założenia indukcji, takie że mamy \(\displaystyle{ q}\), \(\displaystyle{ 0 \le q <1}\), takie że \(\displaystyle{ p_n b^{n+1} = a_{n+1} + q}\). Definiujemy \(\displaystyle{ p_{n+1} : = q b^{-n-1}}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ x = \sum_{v=-k}^n a_v b^{-v} + (a_{n+1} + q)b^{-n-1} = \sum_{v = -k}^{n+1} a_v b^{-v} + p_{n+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 \le p_{n+1} < b^{-n-1}}\).

Pytanie tylko jak z algorytmu wywnioskować taki \(\displaystyle{ a_{n+1}}\)? A może ten krok trzeba przeprowadzić jakoś inaczej?

-- 23 lis 2016, o 23:33 --

Muszę pokazać \(\displaystyle{ floor(b(y_k - a_k)) = floor(p_n b^{n+1})}\).

Wystarczy, że na każdym poziomie będę miał \(\displaystyle{ y_n = a_n + r}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 \le r <1}\) i \(\displaystyle{ p_n := r \cdot b^{-n} < b^{-n}}\). Chyba mogę to zrobić, algorytm mi tego nie zabrania. Wtedy mam

\(\displaystyle{ floor(b r) = floor(b r)}\).