Udowodnij podzielność wyrażenia

[Yorktown]

Dostałem w piątek zadanka do zrobienia:D Nikt w klasie nie ma rozwiązania. Proszę pomóżcie. Na jutro, pilne...

1. Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n, liczba \(\displaystyle{ n^{3} + 3n^{2} - n - 3}\) jest podzielna przez 48.

2. Wykaż, ze dla każdej liczby całkowitej n, liczba \(\displaystyle{ \frac{n}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{6}}\) jest całkowita.



Proszę o szybka odpowiedź z rozwiazaniem. Z góry dzięki.

Temat i zapis poprawiłam.
ariadna

[Sylwek]

2. \(\displaystyle{ \frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n+3n^2+n^3}{6} =\frac{n(n^2+3n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}}\)

W liczniku masz iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna podzielna przez 2, więc licznik na pewno jest podzielny przez 6, czyli ta liczba jest całkowita dla każdego n.

1. Skoro jest to liczba nieparzysta, to możemy ją przedstawić w postaci n=2k+1, czyli:
\(\displaystyle{ n^{3}+3n^{2}-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n+3)(n^2-1)=(n+3)(n+1)(n-1)=(2k+4)(2k+2)2k=8k(k+1)(k+2)}\)

k(k+1)(k+2) - iloczyn trzech kolejnych liczb, czyli podzielny przez 6 (patrz przykład wyżej), czyli liczba jest podzielna przez 6*8=48, co kończy dowód

[Yorktown]

Dzięki. Sam bym na to nie wpadł. Wielkie dzięki, jeszcze raz. W imieniu całej klasy

[Sylwek]

Jak pilna sprawa, to cieszę się, że mogłem pomóc