Udowodnij podzielność wyrażenia

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Yorktown
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 wrz 2007, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk

Udowodnij podzielność wyrażenia

Post autor: Yorktown » 9 wrz 2007, o 22:08

Dostałem w piątek zadanka do zrobienia:D Nikt w klasie nie ma rozwiązania. Proszę pomóżcie. Na jutro, pilne...

1. Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n, liczba \(\displaystyle{ n^{3} + 3n^{2} - n - 3}\) jest podzielna przez 48.

2. Wykaż, ze dla każdej liczby całkowitej n, liczba \(\displaystyle{ \frac{n}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{6}}\) jest całkowita.



Proszę o szybka odpowiedź z rozwiazaniem. Z góry dzięki.

Temat i zapis poprawiłam.
ariadna
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2007, o 22:15 przez Yorktown, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Udowodnij podzielność wyrażenia

Post autor: Sylwek » 9 wrz 2007, o 22:41

2. \(\displaystyle{ \frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n+3n^2+n^3}{6} =\frac{n(n^2+3n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}}\)

W liczniku masz iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna podzielna przez 2, więc licznik na pewno jest podzielny przez 6, czyli ta liczba jest całkowita dla każdego n.

1. Skoro jest to liczba nieparzysta, to możemy ją przedstawić w postaci n=2k+1, czyli:
\(\displaystyle{ n^{3}+3n^{2}-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n+3)(n^2-1)=(n+3)(n+1)(n-1)=(2k+4)(2k+2)2k=8k(k+1)(k+2)}\)

k(k+1)(k+2) - iloczyn trzech kolejnych liczb, czyli podzielny przez 6 (patrz przykład wyżej), czyli liczba jest podzielna przez 6*8=48, co kończy dowód

Yorktown
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 wrz 2007, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk

Udowodnij podzielność wyrażenia

Post autor: Yorktown » 9 wrz 2007, o 22:46

Dzięki. Sam bym na to nie wpadł. Wielkie dzięki, jeszcze raz. W imieniu całej klasy

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Udowodnij podzielność wyrażenia

Post autor: Sylwek » 9 wrz 2007, o 22:48

Jak pilna sprawa, to cieszę się, że mogłem pomóc

ODPOWIEDZ