Matematyka.pl

ZAD 1
Wyznacz postać Jordana endomorfizmu liniowego F i bazę w której przyjmuje on te postać, jeśli w bazie standardowej przekształcenie F zadane jest macierzą:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2&-3\\4&10&-12\\3&6&-7\end{array}\right]}\)

ZAD 2
Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:R^{2} \rightarrow R^{2}}\) zadane w bazie standardowej przez macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}-1&1\\2&0\end{array}\right]}\). Wyznacz wszystkie bazy \(\displaystyle{ B}\), przy których wektor \(\displaystyle{ v \in R^{2}}\) o współrzędnych \(\displaystyle{ (2,0)}\) względem bazy \(\displaystyle{ B}\) przechodzi w przekształcenie \(\displaystyle{ T}\) na wektor o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,-3)}\) względem \(\displaystyle{ B}\)

ZAD 3
Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:R^{2} \rightarrow R^{2}}\) zadane w bazie standardowej przez macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\). Czy istnieje baza \(\displaystyle{ B}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\) taka, że macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) względem bazy \(\displaystyle{ B}\) jest macierzą postaci \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]}\), Odpowiedź krótko uzasadnić.


Bardzo proszę o pomoc

1. Patrz tutaj: viewtopic.php?f=32&t=364813
Polecam, gdyż jest tam bardzo solidnie opisana metoda postępowania.

3. Wskazówka: zmiana bazy nie wpływa na to, czy macierz generuje izomorfizm. Sprawdź, czy obie macierze generują izomorfizmy.

2. Weź dowolną bazę i zapisz jej macierz w nowej bazie. Następnie zadziałaj taką nową macierzą na wektor \(\displaystyle{ v}\) i porównaj, kiedy tak otrzymany wektor jest równy \(\displaystyle{ (0,-3)}\) pamiętając, że ten ostatni jest w nowej bazie (przypuszczam, że można to zrobić prościej, ale zadania ze zmianami baz mają za dużo "trików", których nie znam za dobrze).

\(\displaystyle{ \det\left[\begin{array}{ccc}3-\lambda&2&-3\\4&10-\lambda&-12\\3&6&-7-\lambda\end{array}\right]=0\\
\left( 2-\lambda\right)^{3} =0\\
\begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_{1}\\v_{2}\\v_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}\\
v_{1}+2v_{2}-3v_{3}=0\\
v_{1}=-2v_{2}+3v_{3}\\
v_{2} \begin{bmatrix} -2 \\ 1\\0 \end{bmatrix} +v_{3}\begin{bmatrix} 3 \\ 0\\1 \end{bmatrix}\\}\)

Mamy dwa liniowo niezależne wektory własne

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix} \\}\)

\(\displaystyle{ v_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 4\\3\end{bmatrix}\\
v_{2}= \begin{bmatrix}1 \\ 0\\0 \end{bmatrix}\\
v_{3}=\begin{bmatrix}-2 \\ 1\\0 \end{bmatrix}\\}\)

\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 1&1&-2\\4&0&1\\3&0&0 \end{bmatrix} \\
A=\begin{bmatrix}3&2&-3\\4&10&-12\\3&6&-7\end{bmatrix}\\
J=P^{-1}AP\\}\)