3 całki nieoznaczone

[diver]

witam, prosze o jakas podpowiedz w tych 3 całkach
\(\displaystyle{ \int\frac{xcosx}{sin^2x}}\)

\(\displaystyle{ \int\sqrt{1-x^2}}\)

\(\displaystyle{ \int\cos(lnx)}\)

[soku11]

2)
\(\displaystyle{ \int\sqrt{1-x^2} \\
x=sint\\
dx=cost dt\\
t \sqrt{1-sin^2t}cost dt=\int cos^2t dt=...}\)


3)
\(\displaystyle{ \int\cos(lnx)=\int \frac{xcos(lnx)}{x}dx\\
lnx=t\\
x=e^t\\
\frac{dx}{x}=dt\\
t e^t cost dt\\
u=e^t\quad dv=cost dt\\
...}\)

POZDRO

[mostostalek]

pierwszą to bym chyba podstawiał \(\displaystyle{ t=\tan{\frac{x}{2}}}\)

drugą warto podstawić \(\displaystyle{ x=sint}\) wtedy liczysz tylko \(\displaystyle{ \int\cos^{2}{t}dt}\)

trzecia to trzeba podstawić \(\displaystyle{ t=\ln{x}}\) chyba..

[soku11]

A ja bym pierwsze tak sprobowal (dlugo alecos wychodzi):
\(\displaystyle{ \int\frac{xcosx}{sin^2x}dx \\
sinx=t\\
cosx dx=dt\\
x=arcsint\\
t \frac{arcsint dt}{t^2}\\
u=arcsint\quad dv=\frac{dt}{t^2}\\
du=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\quad v=-\frac{1}{t}\\
-\frac{arcsint}{t}+\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\
t \frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}t^2}\\
1-t^2=s^2\\
t^2=1-s^2\\
tdt=-sds\\
-\int \frac{sds}{s(1-s^2)}=-\int \frac{ds}{1-s^2}=
-\frac{1}{2}(\int \frac{ds}{1-s}+\int\frac{ds}{1+s})=
-\frac{1}{2}(-ln|1-s|+ln|1+s|)=
-\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+s}{1-s} \right|=
-\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+\sqrt{1-t^2}}{1-\sqrt{1-t^2}} \right|\\
-\frac{arcsint}{t}-\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+\sqrt{1-t^2}}{1-\sqrt{1-t^2}} \right|=...\\}\)

POZDRO

[diver]

dzieki panowie i soku niestety nie tak sie miało to rozwinąć

[soku11]

Tzn, ze zrobilem cos tutaj zle?? Bo ja jakos nie widze bledu w mojej metodzie :/ Mozesz mnie uswaidomic?? POZDRO

[diver]

moze ja cos zle policzyłem i mi nie wychodzi co jest mozliwe ale wynik miał wyjsc \(\displaystyle{ -1/2(\frac{x}{sin^x}+ctgx)}\) pozdr

[atam87]

\(\displaystyle{ \int\sqrt{1-x^{2}} = t\frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int\frac{x^{2}}{1-x^{2}}=arcsinx - \frac{1}{2}arcsin\frac{x}{a}-\frac{x}{2}\sqrt{1-x^{2}}}\)