Matematyka.pl

Cześć! Za zadanie mam wykazać że dla \(\displaystyle{ ne\in N}\) zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(2n-1)2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}\)

Moje rozwiązanie:

dla \(\displaystyle{ n=1}\) \(\displaystyle{ L=P}\)

dla \(\displaystyle{ n+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n+2}}\)

Potem:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n+2}}\)

Część się skraca i po skróceniu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{2n+2}}\)

Dalej przekształcamy...
Pomnożyłem stronami \(\displaystyle{ 2n+2}\)

\(\displaystyle{ \frac{2n+2}{n+1}+\frac{1}{(2n+1)}=1}\) teraz mnożę stronami \(\displaystyle{ (n+1)(2n+1)}\)

Czyli dalej mamy:

\(\displaystyle{ (2n+2)(2n+1)+(n+1)=(n+1)(2n+1)}\)
Jak to powymnażam i poskracam to wychodzi równanie:
\(\displaystyle{ (n+1)^{2}=0}\)

Co zrobiłem źle? Gdzie popełniłem błąd? Przecież na końcowym etapie nie mogę wykazać tej równości? Czy może w poleceniu jest błąd i jest to jak najbardziej prawidłowa odpowiedź? Bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam

Zgubiłeś jeden wyraz z prawej, po skróceniu powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\)

dla tego przypadku się zgadza, jednak mam zastrzeżenia ponieważ wyraz o jeden mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\) i ten wyraz się skraca także skąd jest wyraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}}\)?

Mylisz się.
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} +\dots+\frac{1}{2n}}\) to jest suma wszystkich odwrotności liczb naturalnych, poczynając od odwrotności \(\displaystyle{ n}\), a kończąc na odwrotności \(\displaystyle{ 2n}\).
Więc np. przedostatni wyraz w tej sumie to \(\displaystyle{ \frac{1}{2n-1}}\).
Jak\(\displaystyle{ n}\) zwiększysz o \(\displaystyle{ 1}\), to masz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\).

ale... to się nie może zgadzać...
odejmuję/dodaję do n zatem
dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2(n+1)}=\frac{1}{2n+2}}\) <-ostatni wyraz
wyraz o jeden mniejszy to po prostu
\(\displaystyle{ \frac{1}{2(n-1)+2}=\frac{1}{2n+2-2}=\frac{1}{2n}}\)
wyraz o jeszcze jeden mniejszy...
\(\displaystyle{ \frac{1}{2(n-1)}=\frac{1}{2n-2}}\)

Przecież nie możemy tak swobodnie dodawać sobie czegoś do \(\displaystyle{ n}\) kiedy przed \(\displaystyle{ n}\) stoi \(\displaystyle{ 2}\), jakoś nie widzę skąd jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2n-1}}\)

Jumpeq pisze:dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2(n+1)}=\frac{1}{2n+2}}\) <-ostatni wyraz
wyraz o jeden mniejszy to po prostu
\(\displaystyle{ \frac{1}{2(n-1)+2}=\frac{1}{2n+2-2}=\frac{1}{2n}}\)
wyraz o jeszcze jeden mniejszy...
\(\displaystyle{ \frac{1}{2(n-1)}=\frac{1}{2n-2}}\)

Dalej nie rozumiesz, więc może spróbujemy tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} +\dots+\frac{1}{2n}= \sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i}.}\)

Dla \(\displaystyle{ n:=n+1}\) dostajesz zatem

\(\displaystyle{ \sum_{i=(n+1)+1}^{2(n+1)}\frac{1}{i}=\sum_{i=n+2}^{2n+2}\frac{1}{i},}\)

czyli dokładnie tak, jak tłumaczył Ci Premislav.

JK

Jan Kraszewski pisze: Dalej nie rozumiesz, więc może spróbujemy tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} +\dots+\frac{1}{2n}= \sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i}.}\)

Dla \(\displaystyle{ n:=n+1}\) dostajesz zatem

\(\displaystyle{ \sum_{i=(n+1)+1}^{2(n+1)}\frac{1}{i}=\sum_{i=n+2}^{2n+2}\frac{1}{i},}\)

czyli dokładnie tak, jak tłumaczył Ci Premislav.

JK

Przykro mi ale ten zapis jest dla mnie jeszcze bardziej niezrozumiały, nie operowaliśmy jeszcze znakiem sigmy

Jeżeli mam zapis \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\) i zwiększam go o te \(\displaystyle{ n+1}\) to wyjdzie i tak i tak \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+2}}\) jak zmniejszę go o jeden to mam wyraz poprzedni abym otrzymał \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}}\) musiałbym wyraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\) zwiększyć o \(\displaystyle{ n+0,5}\) ...

Trwasz w błędnym błędzie. Zapis z sumą pokazuje dokładnie, o co chodzi - nie zwiększasz kolejnych wyrazów, zwiększasz granice sumowania. Za każdym razem masz sumę kolejnych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{i}}\), wzrost \(\displaystyle{ n}\) oznacza, że bierzesz po prostu więcej kolejnych wyrazów tego ciągu do sumy.

Dopóki tego nie zrozumiesz, to nie ruszysz dalej.

JK

no nie rozumiem bo pokazałem sposób w jaki wymnażam to wyrażenie i dalej nie wychodzi mi to co powinno wyjść, dalej nie wiem skąd jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}}\)

Jumpeq pisze:no nie rozumiem bo pokazałem sposób w jaki wymnażam to wyrażenie i dalej nie wychodzi mi to co powinno wyjść, dalej nie wiem skąd jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}}\)

To weź sobie jakieś konkretne \(\displaystyle{ n}\) np. \(\displaystyle{ n = 5}\) i dla tej \(\displaystyle{ 5}\) rozpisz sobie Twoje równanie. Powinno zaskoczyć.

novicjusz pisze:To weź sobie jakieś konkretne \(\displaystyle{ n}\) np. \(\displaystyle{ n = 5}\) i dla tej \(\displaystyle{ 5}\) rozpisz sobie Twoje równanie.

Dobry pomysł. A najlepiej dla \(\displaystyle{ n=4}\) i \(\displaystyle{ n=5}\).

JK