Podzielność przez 3...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
adamk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 wrz 2007, o 19:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

Podzielność przez 3...

Post autor: adamk » 9 wrz 2007, o 19:40

Czy dla dowolnych liczb całkowitych a i b liczba \(\displaystyle{ a^{3}b - ab^{3}}\) przystaje do 0 modulo 3 ? (dzieli się przez 3 bez reszty )

\(\displaystyle{ a^{3}b - ab^{3} \equiv 0 (mod 3)}\)


Proszę o w miarę możliwości szybką odpowiedź
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Podzielność przez 3...

Post autor: Piotr Rutkowski » 9 wrz 2007, o 19:59

\(\displaystyle{ a^{3}b-ab^{3}=ab(a-b)(a+b)}\)
teraz, jeśli któraś z liczb a,b przystaje do 0, to ab przystaje do zera.
jeśli obydwie z liczb dają taką samą resztę z dzielenia przez 3, to a-b przystaje do 0
jeśli dają różną resztę z dzielenia przez 3 to
\(\displaystyle{ a \equiv 1(mod3)}\)\(\displaystyle{ b\equiv 2(mod3)}\) lub na odwrót, a wtedy:
\(\displaystyle{ a+b \equiv 3 \equiv 0 (mod3)}\), czyli nasze wyrażenie dzieli się przez 3

adamk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 wrz 2007, o 19:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

Podzielność przez 3...

Post autor: adamk » 9 wrz 2007, o 20:08

Co masz na myśli pisząc, że któraś z liczb przystaje do zera?
polskimisiek pisze:jeśli któraś z liczb a,b przystaje do 0

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Podzielność przez 3...

Post autor: Piotr Rutkowski » 9 wrz 2007, o 20:12

Jeśli \(\displaystyle{ a \equiv 0(mod3) b \equiv 0(mod3)}\), to \(\displaystyle{ ab \equiv 0 (mod3)}\)

adamk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 wrz 2007, o 19:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

Podzielność przez 3...

Post autor: adamk » 9 wrz 2007, o 20:14

A co jeśli a i b to dowolne liczby całkowite?
Tzn. nie wychodzimy z założenia, że przystają do 0 mod 3.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Podzielność przez 3...

Post autor: Piotr Rutkowski » 9 wrz 2007, o 20:16

No tutaj rozpatrzyłem wszystkie możliwe przypadki. Oczywiście \(\displaystyle{ a \equiv 0 1 2 (mod3)}\) i masz opis wszystkiego w moim pierwszym poście

adamk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 wrz 2007, o 19:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

Podzielność przez 3...

Post autor: adamk » 9 wrz 2007, o 20:24

OK. Już wszystko rozumiem.
Wielkie dzięki

ODPOWIEDZ