Matematyka.pl

Witam,

Jak uzasadnić, że dla dowolnej liczby całkowitej nieparzystej \(\displaystyle{ 2k+1}\) podzielonej przez \(\displaystyle{ 4}\) reszta jest \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3}\).

Definicja dzielenia liczby całkowitych z resztą \(\displaystyle{ a=b \cdot m+r}\)
W miejsce \(\displaystyle{ a}\) podstawiam \(\displaystyle{ 2k+1}\) w miejsce \(\displaystyle{ b}\) podstawiam \(\displaystyle{ 4}\). Wychodzi mi \(\displaystyle{ 2k+1=4m+r}\). Wszelkie próby wyznaczenia \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ r}\) nie przynoszą rezultatów.

Pozdrawiam
Kasprkam

Twoja liczba nieparzysta jest postaci \(\displaystyle{ 2k+1}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\). Teraz za \(\displaystyle{ k}\) możemy wpisać liczbę parzystą lub nieparzystą.

Pierwszy przypadek \(\displaystyle{ k=2m}\) :
\(\displaystyle{ 2k+1 = 2 \cdot \left( 2m\right) + 1 = 4m + 1}\)

Drugi przypadek \(\displaystyle{ k=2m+1}\) :
\(\displaystyle{ 2k+1 = 2 \cdot \left( 2m+1\right) +1 = 4m +3}\)

Czy podstawienie, które podałeś może być także wykorzystane do szukania reszty z dzielenie dla dowolnej liczby całkowitej w postaci ogólnej?

Weźmy na przykład taką liczbę całkowitą \(\displaystyle{ 4n-1}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in Z}\), dla której reszta z dzielenia przez 4 jest równa 3.

Chcę zrozumieć skąd co się bierze i dlaczego. Zależy mi żeby się tego nauczyć i potrafić wyznaczać resztę dla dowolnej liczby przy dzieleniu przez dowolną inną liczbę.

kasprkam pisze:Weźmy na przykład taką liczbę całkowitą \(\displaystyle{ 4n-1}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \ZZ}\), dla której reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) jest równa \(\displaystyle{ 3}\).

Napisałeś masło maślane. Skoro liczba jest postaci \(\displaystyle{ 4n-1}\), to wiemy, że daje resztę \(\displaystyle{ 3}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\), bo \(\displaystyle{ 4n-1=4(n-1)+3}\). Nie bardzo rozumiem zatem, co miał ilustrować ten przykład.

JK

Zadanie jest następujące. Oblicz resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 4n-1}\) przez \(\displaystyle{ 4}\). Czy w celu obliczenia reszty z dzielenia wskazanej liczby można w miejsce \(\displaystyle{ n}\) wykonać podstawienie liczby parzystej lub nieparzystej?

Jeżeli tak lub nie to dlaczego i skąd to wynika?

Jeżeli odpowiedź będzie "nie"
Dlaczego podstawienie liczby parzystej lub nieparzystej w miejsce k dla liczby \(\displaystyle{ 2k+1}\) jest prawidłowe a dla liczby \(\displaystyle{ 4n-1}\) jest błędne?

kasprkam pisze:Zadanie jest następujące. Oblicz resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 4n-1}\) przez \(\displaystyle{ 4}\). Czy w celu obliczenia reszty z dzielenia wskazanej liczby można w miejsce \(\displaystyle{ n}\) wykonać podstawienie liczby parzystej lub nieparzystej?

Ale po co? Takie podstawienie nic Ci nie da.

kasprkam pisze:Dlaczego podstawienie liczby parzystej lub nieparzystej w miejsce k dla liczby \(\displaystyle{ 2k+1}\) jest prawidłowe a dla liczby \(\displaystyle{ 4n-1}\) jest błędne?

Mam wrażenie, że traktujesz temat trochę jak naukę sztuki magicznej. Matematyka to nie zbiór magicznych reguł. W sytuacji z początkowego posta rozważałeś dwa przypadki ("parzysty" i "nieparzysty") dlatego, że w tamtej sytuacji dawało to oczekiwaną informację. Tu masz inne zadanie i trzeba rozwiązać metodą, która do niego pasuje.

W Twoim zadaniu masz obliczyć resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 4n-1}\) przez \(\displaystyle{ 4}\). W tym celu musisz wiedzieć, co to znaczy. A znaczy to, że masz przedstawić liczbę \(\displaystyle{ 4n-1}\) w postaci \(\displaystyle{ 4m+r}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą całkowitą, a \(\displaystyle{ r}\), czyli reszta, jest jedną z liczb \(\displaystyle{ 0,1,2,3.}\). Robimy to właśnie tak: \(\displaystyle{ 4n-1=4(n-1)+3}\) i mamy \(\displaystyle{ m=n-1}\) i \(\displaystyle{ r=3}\), czyli reszta to \(\displaystyle{ 3}\).

JK

Masz rację, dziękuję za wyjaśnienie.