Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A _{n}=\{w(x) \in \Pi _{n} :w(x)=x ^{n}+...\}}\), a także \(\displaystyle{ ||w||=max _{x \in [-1;1]}|w(x)|}\).
Udowodnić nierówność: \(\displaystyle{ (\forall w \in A _{n}) ||2 ^{1-n}T _{n}(x)|| \le ||w(x)||}\), gdzie: \(\displaystyle{ T _{n}(x)=cos(n \cdot arccos(x))}\).

Proszę o pomoc.

Chyba to zadanie było na matematyce obliczeniowej.

Wskazówka: dowód nie wprost. Przyda się nietrudny w dowodzie fakt, że współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\) n-tego wielomianu Czebyszewa pierwszego rodzaju jest równy \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\).
A gdyby Ci się nie udało, to rozwiązanie można znaleźć w necie ( po angielsku). Wikipedia wita.