Matematyka.pl

Czytam sobie pierwszy tom podręcznika do analizy matematycznej W. Krysickiego L. Włodarskiego i mam zadania pod koniec rozdziału:

Obliczyć całki (zad. 15.22 - 15.83):

15.23.

\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2-1)^3}{x}dx}\)

Próbowałem wykonać to zadanie metodą przez części bezskutecznie:

\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2-1)^3}{x}dx}\)

Po zastosowaniu wzoru na różnicę sześcianów:

\(\displaystyle{ \int\frac{x^5-3x^4+3x^2-1}{x}dx}\)

Stosuję metodę całkowania przez części względem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\):

\(\displaystyle{ \int\frac{x^5-3x^4+3x^2-1}{x}dx=\int (ln x)'\cdot(x^5-3x^4+3x^2-1)dx=ln x\cdot(x^5-3x^4+3x^2-1)-\int ln x\cdot(x^5-3x^4+3x^2-1)dx=\cdots}\)

I do niczego znowu nie dochodzę. Pomoże ktoś mi z tym zadaniem?

Po prostu z liniowości:
\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2-1)^3}{x}\,\mathrm d x=\int x^5-3x^3+3x-\frac 1x\,\mathrm d x=\\[6pt]
\int x^5\,\mathrm d x-3\int x^3\,\mathrm d x+3\int x \,\mathrm d x-\int\frac 1x\,\mathrm d x=...}\)

Przez części też można

\(\displaystyle{ \int{\frac{\left( x^2-1 \right)^3 }{x} \mbox{d}x }=x \cdot \frac{\left( x^2-1\right)^2 }{x}-\int{x \cdot \frac{\left( x^2-1\right)^2 \cdot 6x^2-\left( x^2-1\right)^3 }{x^2} \mbox{d}x }\\
=\left( x^2-1\right)^3-\int{\frac{\left( x^2-1\right)^2\left( 6x^2-\left( x^2-1\right) \right) }{x} \mbox{d}x } \\
=\left( x^2-1\right)^3-\int{\frac{\left( x^2-1\right)^2\left( 5x^2+1\right) }{x} \mbox{d}x }\\
=\left( x^2-1\right)^3-5\int{x\left( x^2-1\right)^2 \mbox{d}x}-\int{ \frac{\left( x^2-1\right)^2 }{x} \mbox{d}x }\\}\)

Trochę liczenia będzie ale da się tę całkę policzyć tylko przez części

A jeszcze mam pytanie jak policzyć całkę
\(\displaystyle{ \int \frac{x \mbox{d}x }{(x^2+3)^6}}\)? Próbowałem przez podstawienie, w sensie że za t podstawiłem \(\displaystyle{ (x^2+3)^6}\) ale potem się zaciąłem jak miałem tak przekształcić lewą stronę, by po prawej był iks. Pomoże mi ktoś w policzeniu tej całki? Czy całkowanie przez podstawienie to jest oby na pewno dobra metoda?

Podstaw za \(\displaystyle{ x^{2}+3}\) dostaniesz całkę
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{dt}{ t^{6} }}\)