\(\displaystyle{ f(x)=6\ln x+3x^{e}-6x}\)
Wyrażenie zapisane w całości w LaTeX-u prezentuje się o wiele lepiej..
max
przedział wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięci
przedział wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięci
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 16:20 przez slwerro, łącznie zmieniany 1 raz.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
przedział wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięci
OK, no więc funkcja ma postać:
\(\displaystyle{ f(x) = 6 \ln x + 3x^e - 6x}\)
Dziedziną jest \(\displaystyle{ x \mathbb{R^+}}\).
Liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{6}{x}+3x^{e-1}-6}\)
i przyrównujemy ją do zera:
\(\displaystyle{ x^e-2x+2=0}\)
Pochodna się nie zeruje i dla każdego x jest większa od zera, zatem nasza funkcja jest rosnąca.
Liczymy druga pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x)=3(e-1)x^{e-2}-\frac{6}{x^2}}\)
i szukamy miejsca zerowego. Wychodzi nam punkt przegięcia w:
\(\displaystyle{ x_0=\left(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e}}\)
No i już łatwo zauważyć (monotoniczność), że funkcja jest wypukła dla \(\displaystyle{ x ft( 0, ft(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e} \right)}\),
wklęsła dla \(\displaystyle{ x ft( ft(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e}, + \right)}\).
\(\displaystyle{ f(x) = 6 \ln x + 3x^e - 6x}\)
Dziedziną jest \(\displaystyle{ x \mathbb{R^+}}\).
Liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{6}{x}+3x^{e-1}-6}\)
i przyrównujemy ją do zera:
\(\displaystyle{ x^e-2x+2=0}\)
Pochodna się nie zeruje i dla każdego x jest większa od zera, zatem nasza funkcja jest rosnąca.
Liczymy druga pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x)=3(e-1)x^{e-2}-\frac{6}{x^2}}\)
i szukamy miejsca zerowego. Wychodzi nam punkt przegięcia w:
\(\displaystyle{ x_0=\left(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e}}\)
No i już łatwo zauważyć (monotoniczność), że funkcja jest wypukła dla \(\displaystyle{ x ft( 0, ft(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e} \right)}\),
wklęsła dla \(\displaystyle{ x ft( ft(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e}, + \right)}\).