przedział wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięci

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
slwerro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 wrz 2007, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krak

przedział wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięci

Post autor: slwerro » 9 wrz 2007, o 18:27

\(\displaystyle{ f(x)=6\ln x+3x^{e}-6x}\)
Wyrażenie zapisane w całości w LaTeX-u prezentuje się o wiele lepiej..
max
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2007, o 16:20 przez slwerro, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

przedział wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięci

Post autor: scyth » 10 wrz 2007, o 09:11

OK, no więc funkcja ma postać:
\(\displaystyle{ f(x) = 6 \ln x + 3x^e - 6x}\)
Dziedziną jest \(\displaystyle{ x \mathbb{R^+}}\).

Liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{6}{x}+3x^{e-1}-6}\)
i przyrównujemy ją do zera:
\(\displaystyle{ x^e-2x+2=0}\)

Pochodna się nie zeruje i dla każdego x jest większa od zera, zatem nasza funkcja jest rosnąca.
Liczymy druga pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x)=3(e-1)x^{e-2}-\frac{6}{x^2}}\)
i szukamy miejsca zerowego. Wychodzi nam punkt przegięcia w:
\(\displaystyle{ x_0=\left(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e}}\)

No i już łatwo zauważyć (monotoniczność), że funkcja jest wypukła dla \(\displaystyle{ x ft( 0, ft(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e} \right)}\),
wklęsła dla \(\displaystyle{ x ft( ft(\frac{2}{e-1}\right)^\frac{1}{e}, + \right)}\).

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

przedział wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięci

Post autor: max » 10 wrz 2007, o 16:22

\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{6}{x} + 3e x^{e - 1} - 6}\)

ODPOWIEDZ