Znajdź c dla którego równanie ma jak najmniejszą warto

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

Znajdź c dla którego równanie ma jak najmniejszą warto

Post autor: Gregorias » 9 wrz 2007, o 18:25

Dla danych a>0, b>0 i 1>y>0 znajdź c>0 dla którego równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2acy} + \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2bcy}}\)
ma jak najmniejszą wartość. Proszę o przedstawienie wszystkich ważniejszych obliczeń i uzasadnienie ich.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mmonika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 24 wrz 2007, o 18:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 3 razy

Znajdź c dla którego równanie ma jak najmniejszą warto

Post autor: mmonika » 24 wrz 2007, o 18:50

Nie daję 100% gwarancji, ale wydaje mi się, że można to rozwiązać następująco:

liczby a,b,c,y są dotatnie i zakładam, że rozwiązania poszukujemy w liczbach rzeczywistych a zatem wartośći podpierwiastkowe powinny być co najmniej nieujemne. Zatem najmniejszym rozwiązaniem byłoby 0. Poszukajmy więc rozwiązań kiedy oba wyrażenia podpierwiastkowe są równe zeru, wtedy:

a^2 + c^2 - 2acy = 0
b^2 + c^2 - 2bcy = 0

po odjęciu r-ń:

a^2 - b^2 - 2cy(a - b) = 0 ↔ (a - b)(a+b) - 2cy(a - b) = 0 ↔ (a-b)(a + b - 2cy) = 0

aby to było spełnione przynajmniej jeden wyraz musi być = 0, a nas interesuje drugi wyraz, zatem:
a + b - 2cy = 0 ↔ (a+b)/2y=c

ODPOWIEDZ