Matematyka.pl

Pokazać, że \(\displaystyle{ Log z\in \mathcal{O}\left( \mathbb{C}\setminus (-\infty,0]\right)}\).

A co to znaczy?

Holomorficzna

A jaka jest definicja \(\displaystyle{ \mathrm{Log} \, z}\) ?

\(\displaystyle{ \bullet}\) Niech \(\displaystyle{ u, v \in \CC \setminus (-\infty, 0]}\) i niech \(\displaystyle{ \varphi = \mathrm{Arg} \, u, \ \psi = \mathrm{Arg} \, v.}\) Wtedy

\(\displaystyle{ u = r_1 ( \cos \varphi + i \sin \varphi) \\
v = r_2 ( \cos \psi + i \sin \psi ),}\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{u}{v} = \frac{r_1}{r_2} \big( \cos( \varphi - \psi ) + i \sin ( \varphi - \psi ) \big),}\)

a więc

\(\displaystyle{ \mathrm{Arg} \, \frac{u}{v} = \varphi - \psi = \mathrm{Arg} \, u - \mathrm{Arg} \, v}\)

o ile tylko \(\displaystyle{ - \pi < \mathrm{Arg} \, u - \mathrm{Arg} \, v < \pi.}\)


\(\displaystyle{ \bullet}\) Niech \(\displaystyle{ z \in \CC \setminus (-\infty, 0].}\) Funkcja \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}}\) jest ciągła, więc istnieje takie \(\displaystyle{ r > 0,}\) że \(\displaystyle{ (\forall u \in \mathcal{B}(z, r)) \, | \mathrm{Arg} \, u - \mathrm{Arg} \, z | < \pi,}\) więc na mocy poprzedniego punktu

\(\displaystyle{ \mathrm{Arg} \, \frac{u}{z} = \mathrm{Arg} \, u - \mathrm{Arg} \, z.}\)


\(\displaystyle{ \bullet}\) Niech \(\displaystyle{ |h| < r.}\) Wtedy

\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\mathrm{Log} \, (z+h) - \mathrm{Log} \, z & = \log |z+h| + i \cdot \mathrm{Arg} \, (z+h) - \log |z| - i \cdot \mathrm{Arg} z \\[1ex]
& = \log \left| \frac{z+h}{z} \right| + i \cdot \left( \mathrm{Arg} \,\frac{z+h}{z} \right) \\[1ex]
& = \log \left| 1 + \frac{h}{z} \right| + i \cdot \mathrm{Arg} \, \left( 1 + \frac{h}{z} \right)
\end{align*} $}\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{ \mathrm{Log} \, (z+h) - \mathrm{Log} \, z }{ h } = \frac{1}{z} \cdot \frac{ \log \left| 1 + \frac{h}{z} \right| + i \cdot \mathrm{Arg} \, \left( 1 + \frac{h}{z} \right) }{ \frac{h}{z} } = \frac{1}{z} \cdot \frac{ \log \left| 1 + \eta \right| + i \cdot \mathrm{Arg} \, \left( 1 + \eta \right) }{ \eta },}\)

gdzie \(\displaystyle{ \eta = \frac{h}{z}}\) i \(\displaystyle{ \eta \to 0}\) gdy \(\displaystyle{ h \to 0.}\) Zostaje więc pokazać, że

\(\displaystyle{ \lim_{\eta \to 0} \frac{ \log \left| 1 + \eta \right| + i \cdot \mathrm{Arg} \, \left( 1 + \eta \right) }{ \eta } = 1,}\)

to stąd wyniknie, że

\(\displaystyle{ (\mathrm{Log} \, z)' = \frac{1}{z}.}\)

Chyba nie bardzo rozumiem ten dowód. Przede wszystkim chciałbym pokazać (zrozumieć) dlaczego akurat tak wygląda zbiór gdzie logarytm jest holomorficzny, to znaczy że to jest akurat \(\displaystyle{ \mathbb{C}\setminus (-\infty,0]}\) (i że nie może być inaczej).

To znaczy domyślam się, że jest to powiązane z dziedziną funkcji logarytm. Jednak nie wiem czy jest to tak, że po prostu ten zbiór jest oczywisty właśnie ze względu na samą dziedzinę, czyli wystarczy pokazać, że na tym co nam zostało, czyli \(\displaystyle{ \mathbb{C}\setminus (-\infty,0]}\) jest ona holomorficzna, czy w związku z samą holomorficznością są własności które narzucają, że z \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) musimy wyrzucić \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\).

Ok, w takim razie rozwinę:

Przede wszystkim, funkcja \(\displaystyle{ f(z) = e^z}\) nie jest różnowartościowa: dla każdego \(\displaystyle{ w \in \CC \setminus \{ 0 \}}\) równanie \(\displaystyle{ e^z = w}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, a jeśli jedno z nich oznaczymy przez \(\displaystyle{ z_0,}\) to pozostałe są dane wzorami \(\displaystyle{ z_k = z_0 + 2 k \pi i,}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ.}\) Zatem dla dowolnych \(\displaystyle{ z, z' \in \CC}\) mamy: \(\displaystyle{ e^{z} = e^{z'} \iff (\exists k \in \ZZ) \, z - z' = 2 k \pi i,}\) czyli w szczególności:

\(\displaystyle{ \bullet}\) funkcja \(\displaystyle{ e^z}\) jest jednookresowa i jej okresem pierwotnym jest \(\displaystyle{ T = 2 \pi i,}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) jest ona różnowartościowa w pasie \(\displaystyle{ S = \{ z \in \CC : -\pi \le \Im z < \pi \}.}\)

W tym pasie leży więc dokładnie jeden argument dla każdej wartości przyjmowanej przez funkcję \(\displaystyle{ e^z.}\) To sprawia, że \(\displaystyle{ S}\) jest dobrym zbiorem wartości funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ e^z}\): funkcja ta po obcięciu do \(\displaystyle{ S}\) staje się różnowartościowa i osiąga wszystkie wartości z \(\displaystyle{ \CC \setminus \{ 0 \},}\) więc posiada funkcję odwrotną, którą oznaczamy \(\displaystyle{ \mathrm{Log} \, z.}\)


Chcielibyśmy znaleźć wzór jawny na tę funkcję. W tym celu dla dowolnego \(\displaystyle{ w \in \CC \setminus \{ 0 \}}\) powinniśmy rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ e^z = w}\)

w dziedzinie \(\displaystyle{ z \in S.}\) Niech \(\displaystyle{ z = a + bi.}\) Wtedy

\(\displaystyle{ e^z = e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi} = e^a \cdot (\cos b + i \sin b)}\)

czyli

\(\displaystyle{ e^a \cdot (\cos b + i \sin b) = w.}\)

Dwie niezerowe liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe moduły i argumenty; dostajemy więc

\(\displaystyle{ \begin{cases}
e^a = |w| \\
b = \mathrm{arg} \, w,
\end{cases}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a = \log |w| \\
b = \mathrm{arg} \, w.
\end{cases}}\)

Warunek \(\displaystyle{ z \in S}\) oznacza, że \(\displaystyle{ - \pi \le b < \pi,}\) czyli \(\displaystyle{ b = \mathrm{Arg} \, w.}\) Otrzymujemy więc rozwiązanie: \(\displaystyle{ z = \log |w| + i \mathrm{Arg} \, w.}\)

Stąd bierze się wzór, który można przyjąć za definicję logarytmu głównego: \(\displaystyle{ \mathrm{Log} \, z = \log |z| + i \mathrm{Arg} \, z.}\)


Znaleziona przez nas funkcja odwrotna ma jednak pewien feler: jest nieciągła w każdym punkcie \(\displaystyle{ z \in (-\infty, 0),}\) dlatego że jest to półprosta, na której argument \(\displaystyle{ \mathrm{Arg} \, z}\) robi przeskok o \(\displaystyle{ 2 \pi.}\) Od funkcji zespolonych oczekujemy jednak, że będą ciągłe (no i holomorficzne) w swojej dziedzinie, dlatego tę półprostą wyrzuca się z dziedziny, otrzymując funkcję \(\displaystyle{ \mathrm{Log} \, z}\) odwrotną do \(\displaystyle{ e^z}\) i określoną w \(\displaystyle{ \CC \setminus (-\infty, 0].}\)

Półprosta \(\displaystyle{ (-\infty, 0]}\) nie jest w żadnym sensie specjalna dla samej natury logarytmu zespolonego. Gdybyśmy na początku rozważyli pas

\(\displaystyle{ S' = \{ z \in \CC : 0 \le \Im z < 2 \pi \},}\)

mający z punktu widzenia funkcji \(\displaystyle{ e^z}\) wszystkie wymienione na początku własności, to otrzymalibyśmy funkcję

\(\displaystyle{ \mathrm{Log}' \, z = \log |z| + i \mathrm{Arg}' \, z,}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}' \, z}\) każdej niezerowej liczbie zespolonej przypisuje jej kąt leżący w przedziale \(\displaystyle{ [0, 2 \pi),}\) i wtedy \(\displaystyle{ \mathrm{Log}' \, z}\) byłby określony na zbiorze \(\displaystyle{ \CC \setminus [0, \infty).}\)


Teraz pora na pewne uogólnienie. Niech \(\displaystyle{ D \subseteq \CC \setminus \{ 0 \}}\) będzie obszarem (czyli otwartym zbiorem spójnym) i załóżmy, że w tym obszarze określona jest ciągła funkcja \(\displaystyle{ \ell(z) : D \to \CC}\) spełniająca dla każdego \(\displaystyle{ z \in D}\) równość

\(\displaystyle{ e^{\ell(z)} = z.}\)

Każdą taką funkcję nazywa się gałęzią logarytmu zespolonego. Przykładami gałęzi logarytmu są opisane wyżej funkcje \(\displaystyle{ \mathrm{Log} \, z}\) oraz \(\displaystyle{ \mathrm{Log}' \, z.}\)

Istnieją jednak trochę ciekawsze gałęzie. Jak wcześniej wyliczyliśmy, wymagana przez definicję równość

\(\displaystyle{ e^{\ell(z)} = z}\)

jest równoważna równości

\(\displaystyle{ \ell(z) = \log |z| + i \cdot \mathrm{arg} \, z,}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathrm{arg} \, z}\) jest dowolnie wybranym argumentem \(\displaystyle{ z.}\) Funkcja \(\displaystyle{ \ell(z)}\) będzie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy ciągła będzie funkcja \(\displaystyle{ \mathrm{arg} \, z,}\) zatem:

Ciągłemu przypisaniu \(\displaystyle{ z \mapsto \mathrm{arg} \, z}\) każdej liczbie \(\displaystyle{ z \in D}\) któregoś z jej argumentów odpowiada zawsze pewna gałąź logarytmu.

Takie przypisanie można znaleźć również w takim obszarze (płaszczyzna z wyciętą spiralą):
i wobec tego w tym obszarze istnieje gałąź logarytmu.


Istnieje zasadnicza przeszkoda dla określenia gałęzi logarytmu zespolonego w ustalonym obszarze \(\displaystyle{ D}\): nie można tego zrobić, jeśli w \(\displaystyle{ D}\) zawarta jest pewna krzywa zamknięta \(\displaystyle{ \gamma,}\) która obiega dookoła punkt \(\displaystyle{ 0 \in \CC.}\) Jest tak dlatego, że gdy \(\displaystyle{ z}\) obiega \(\displaystyle{ 0}\) na przykład jednokrotnie w kierunku dodatnim, to \(\displaystyle{ \mathrm{arg} \, z}\) powinien stopniowo wzrastać, a po wykonaniu pełnego obiegu jego wartość będzie zwiększona o \(\displaystyle{ 2 \pi.}\) Ale wartość na końcu i na początku musi być taka sama, co czyni niemożliwym określenie \(\displaystyle{ \mathrm{arg} \, z,}\) a co za tym idzie - również logarytmu.

Przeszkodę tę można też wyobrażać sobie w terminach dwóch kopii płaszczyzny \(\displaystyle{ \CC}\): jednej będącej dziedziną dla argumentu \(\displaystyle{ z}\) i drugiej będącej dziedziną dla wartości \(\displaystyle{ w.}\) Na obu płaszczyznach wyróżniony jest pewien punkt. Po każdej z tych płaszczyzn możemy swobodnie, w ciągły sposób poruszać leżącym na niej punktem, jednak powoduje to ruch drugiego punktu w taki sposób, aby zawsze spełniona była zależność \(\displaystyle{ w = e^z.}\) Przykładowo, następujący ruch na płaszczyźnie \(\displaystyle{ z}\) spowoduje odpowiadający ruch na płaszczyźnie \(\displaystyle{ w}\):
Problem polega na tym, że jednokrotnemu obrotowi wokół \(\displaystyle{ 0}\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ w}\) odpowiada droga na płaszczyźnie \(\displaystyle{ z,}\) która kończy się w innym punkcie:
Dlatego każda gałąź logarytmu \(\displaystyle{ \ell(z)}\) zdefiniowana w obszarze, w którym zawarta jest krzywa obiegająca \(\displaystyle{ 0,}\) musiałaby gdzieś na tej krzywej mieć skok:
i w punkcie tego skoku nie byłaby ciągła, zatem istnienie takiej gałęzi jest niemożliwe.

Jeśli jednak dla każdej krzywej zamkniętej na płaszczyźnie \(\displaystyle{ w}\) zawartej w obszarze \(\displaystyle{ D}\) odpowiadająca jej krzywa na płaszczyźnie \(\displaystyle{ z}\) też jest zamknięta (równoważnie: w obszarze \(\displaystyle{ D}\) nie ma krzywej zamkniętej, która obiega punkt \(\displaystyle{ 0}\)), to logarytm zespolony można w obszarze \(\displaystyle{ D}\) zdefiniować. Tę własność mają rozważane wcześniej przykłady - płaszczyzna z wyciętą spiralą, \(\displaystyle{ \CC \setminus (-\infty, 0]}\) oraz \(\displaystyle{ \CC \setminus [0, \infty).}\)


Teorią, która powyższe zjawiska opisuje w sposób głębszy i jednocześnie bardziej precyzyjny, jest topologia algebraiczna, a w szczególności teoria nakryć.

Zrozumienie tego zostawię sobie na jutro, ale już teraz dziękuję za tak obszerne wyjaśnienie.

Na topologię algebraiczną, o której wspomniałeś na końcu mam przyjemność w tym semestrze uczęszczać (teorii nakryć jeszcze nie było), dlatego tym bardziej zaciekawiło mnie to wtrącenie (a szczerze mówiąc nie spodziewałem się takich powiązań między topologią a analizą zespoloną).