Matematyka.pl

Proszę o pomoc przy obliczeniu całki oznaczonej.
\(\displaystyle{ D, d, a \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ D \ge d}\).
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } e^{-a ( d \cdot \cos (x) + \sqrt{D ^{2} - d ^{2} \cdot \sin ^{2} (x) } )}\cdot \sin (x) \cdot \cos (x) dx}\)

Chyba trudne. Skąd masz to cudo?

Zacząłbym od zapisania w wykładniku pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ \sin^2 x=1-\cos^2 x}\) i podstawienia \(\displaystyle{ t=\cos x}\). Potem jakoś trzeba się pozbyć tego pierwiastka w wykładniku za pomocą mniej lub bardziej standardowych podstawień.

W pierwszej chwili przegapiłem tego cosinusa w wykładniku i myślałem, że całka jest stale równa zero, ale nie ma tak dobrze. :C-- 18 lis 2016, o 04:00 --\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } e^{-a ( d \cdot \cos (x) + \sqrt{D ^{2} - d ^{2} \cdot \sin ^{2} (x) } )}\cdot \sin (x) \cdot \cos (x) dx=\bigg|t=\cos x\bigg|= \int_{-1}^{1}te^{-a(dt+\sqrt{D^2-d^2+t^2})} \,\dd t=\\=\bigg|t=\sqrt{D^2-d^2}\tg u\bigg|=\dots}\)

Dobra, to chyba nie jest najfortunniejszy pomysł.

Premislav pisze:Chyba trudne. Skąd masz to cudo?

Dziękuję za podpowiedzi. Ta całka wyraża wypadkową siłę w zagadnieniu dotyczącym teorii pola. Jest to wypadkowa siła działająca w punkcie ustawionym odpowiednio do dość skomplikowanego źródła. Niestety muszę ją jakoś rozwiązać analitycznie, ale żadna sztuczka, którą zam nie działa