Matematyka.pl

Pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2}}\) jest niewymierna. Ale może jakoś lepiej niż pokazywanie, że jest ona pierwiastkiem pewnego wielomianu szóstego stopnia.

Dowód nie wprost. Przypuśćmy nie wprost, że istnieją \(\displaystyle{ p,q \in \ZZ, q\neq 0}\) takie, że
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2}=\frac p q \\2=\left( \frac p q+\sqrt{2}\right)^3\\2q^3=(p+\sqrt{2}q)^3=p^3+3\sqrt{2}p^2q+6pq^2+2\sqrt{2}q^3\\2q^3-p^3-6pq^2=\sqrt{2}(3p^2q+2q^3)}\)
Ale z niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i tego, że po lewej mamy liczbę całkowitą wynika, że
prawa strona jest zerem, tj. \(\displaystyle{ q=0 \vee 3p^2+2q^2=0}\). Oba przypadki natychmiast prowadzą do sprzeczności, co kończy dowód.

Ładnych argumentów dostarczyć może znajomość algebry abstrakcyjnej.

Premislav pisze:
\(\displaystyle{ 2q^3-p^3-6pq^2=\sqrt{2}(3p^2q+2q^3)}\)

Dalej można też tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{2q^3-p^3-6pq^2}{3p^2q+2q^3}\ \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt2}\) jest liczbą wymierną -- sprzeczność

Faktycznie, tak jest zgrabniej.

Jeszcze zgrabniej byłoby, gdybyśmy na początku założyli, że zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}-\sqrt{2}=x}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to liczba wymierna (nie potrzeba wprowadzać za bardzo dwóch 'literek' \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\)).