Matematyka.pl

Klasyczny model normalnej regresji liniowej:

Hipoteza zerowa \(\displaystyle{ H_0:}\) \(\displaystyle{ \beta _1=\dots\ \beta _k=0}\)
alternatywa \(\displaystyle{ H_1:}\) istnieje \(\displaystyle{ i: \beta _i\neq 0}\).

wykazać, że statystyka \(\displaystyle{ F= \frac{n-1-k}{k} \frac{ \sum_{i=1}^{n}(\hat{Y}_i -\overline{Y})^2}{\sum_{i=1}^{n}(\hat{Y}_i -Y_i)^2}}\) ma rozkład F(k,n-k-1)

Mimo szczerych chęci nie mogę sobioe z tym poradzić. Pokazałam tylko, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(\hat{Y}_i -Y_i)^2}\) ma rozkład chi kwadrat o \(\displaystyle{ n-k-1}\) stopniach swobody

to teraz rozkładem mianownika się zajmij

Właśnie z tym jest problem, bo trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2}\sum_{1}^{n}(\hat{Y_i}-\overline{Y})^2}\) ma rozkład chi-kwadrat o \(\displaystyle{ k}\) stopniach swobody. I nie potrafię przkształcić tej sumy, tak by coś sensownego z tego wychodziło. Dlatego też proszę o pomoc.