Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych 2 granic:

\(\displaystyle{ a) \lim_{x\to0} \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 }- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }}\)
\(\displaystyle{ b) \lim_{x\to8} \frac{ 3- \sqrt{x+1} }{4- \sqrt{2x} }}\)

Próbowałem mnożyć przez sprzężenie, a i tak wychodziło mi \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), a przy liczeniu granic lewo i prawostronnych obie granice wyszły mi równe 0, co najpewniej jest źle.

pokaz swoje proby, tutaj dwa razy musisz mnożyc przez sprzężenie

Te same przykłady, próbowałem rozwiązać b)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 8 } \frac{3- \sqrt{x+1} }{4- \sqrt{2x} } = \lim_{ x \to 8 } \frac{3- \sqrt{x+1} }{4- \sqrt{2x} } \cdot \frac{3+ \sqrt{x+1}}{3+ \sqrt{x+1}} = \lim_{x \to 8} \frac{8-x}{(4- \sqrt{2x})(3+ \sqrt{x+1})}}\)

i po podstawieniu \(\displaystyle{ x=8}\) wychodzi

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 8} \frac{8-x}{(4- \sqrt{2x})(3+ \sqrt{x+1})} = \frac{0}{0}}\)

No i czy to jest poprawny wynik? Zastanawiam się, co tutaj daje sprzężenie, już od początku widać \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\). A może to jakoś inaczej rozwiązać?

pokaz swoje proby, tutaj dwa razy musisz mnożyc przez sprzężenie

Jeszcze raz

Nie do końca rozumiem, powinienem dwa razy mnożyć przez sprzężenie. Na początku osobno w liczniku i mianowniku czy później po pierwszym sprzężeniu drugie sprzężenie (w mianowniku) ?

Tak mi wyszedł przykład b

\(\displaystyle{ \lim_{x\to8} \frac{ 3- \sqrt{x+1} }{4- \sqrt{2x}} = \lim_{x\to8} \frac{(9-x-1)(4+ \sqrt{2x})}{(16-2x)(3+ \sqrt{x+1})}= \lim_{x\to8} \frac{(8-x)(4+ \sqrt{2x})}{2(8-x)(3+ \sqrt{x+1})}= \lim_{x\to8} \frac{4+ \sqrt{2x} }{2(3+ \sqrt{x+1})}= \frac{4+4}{2(3+3)}= \frac{8}{12}= \frac{2}{3}}\)

206278.htm

przykład 4

Czyli mogę rozumieć, że zrobiłem drugi przykład dobrze?

Ostatnia równość jest zle

\(\displaystyle{ a) \lim_{x\to0} \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 }- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }= \lim_{x\to0} \frac{(x^{2}+1-x-1)(1+ \sqrt{x+1})}{(1-x-1)( \sqrt{x^{2}+1}+ \sqrt{x+1})} = \lim_{x\to0} \frac{(x^{2}-x)(1+ \sqrt{x+1}) }{-x(\sqrt{x^{2}+1}+ \sqrt{x+1})} = \lim_{x\to0} \frac{-x(x+1)(1+ \sqrt{x+1}) }{-x(\sqrt{x^{2}+1}+ \sqrt{x+1})}= \lim_{x\to0} \frac{(x+1)(1+ \sqrt{x+1}) }{(\sqrt{x^{2}+1}+ \sqrt{x+1})}= \frac{1*(1+1)}{1+1}=1}\)

Tak, na samym finishu się pomyliłem, w b) powinno być \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

Pierwszy przykład:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 }- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }=\lim_{ x\to 0} \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 }- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{\sqrt{ x^{2}+1 }+ \sqrt{x+1}}{\sqrt{ x^{2}+1 }+ \sqrt{x+1}} \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1}}{1+ \sqrt{x+1}} =\\= \lim_{ x\to 0} \frac{ x^{2}-x }{-x} \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1}}{\sqrt{ x^{2}+1 }+ \sqrt{x+1}}= \frac{x(x-1)}{-x} \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1}}{\sqrt{ x^{2}+1 }+ \sqrt{x+1}} =\lim_{ x\to 0} (-x+1) \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1}}{\sqrt{ x^{2}+1 }+ \sqrt{x+1}} =\\= 0+1 \cdot \frac{1+ \sqrt{0+1} }{ \sqrt{0 ^{2} +1}+ \sqrt{0+1} }= \frac{1+1}{1+1}=1}\)

Czy to jest dobre rozwiązanie?

-- 13 lis 2016, o 18:44 --

Ok, nie zauważyłem posta wojtek4567.

No wyszło nam to samo, więc raczej tak.

A obliczyłeś przykład d) ? Nawet nie wiem jak zacząć...

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-1 } \frac{1+ \sqrt[5]{x} }{1+ \sqrt[3]{x} } =}\)

Znowu sprzężenie, wszystkie zadania na jedno kopyto są

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-1 } \frac{1+ \sqrt[5]{x} }{1+ \sqrt[3]{x} } = \lim_{ x\to-1 } \frac{1+ \sqrt[5]{x} }{1+ \sqrt[3]{x} } \cdot \frac{1- \sqrt[5]{x}}{1- \sqrt[5]{x}} \cdot \frac{1- \sqrt[3]{x}}{1- \sqrt[3]{x}} = \lim_{ x\to-1 } \frac{1- \sqrt[5]{x ^{2} } }{1- \sqrt[3]{ x^{2} } } \cdot \frac{1- \sqrt[3]{x}}{1- \sqrt[5]{x}} =}\)

I tutaj się zatrzymałem bo w drugim ułamku otrzymałbym w liczniku i mianowniku \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\). Co dalej lub co inaczej?