Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu

[Jumpeq]

Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu:
a) \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{n^{n}}{n!}}\)

b)\(\displaystyle{ a_{n}=cos\frac{1}{n}}\)

c)\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{n^{2}+2n} -n}\)

Jakoś nie mam pomysłu jak mogę się za to zabrać

[a4karo]

Pomysły:
a) zbadaj różnicę \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n}\)
b) zbadaj iloraz \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\)

Któryś będzie pasował

[Jumpeq]

w a) \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{n^{n}}{n!}=\frac{(n+1)^{n+1}-(n+1)^{n}}{n!(n+1)}=\frac{ (n+1)^{n}-1}{n!}}\)
I co dalej? bo nie wiem?

b) \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{cos\frac{1}{n+1}}{cos\frac{1}{n}}}\)

c) \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n^{2}+4n+3} -n-1 -\sqrt{n^{2}+2n} +n}\)
Ja te sposoby o których Pan wspomniał znam i dotąd jestem w stanie zrobić zadanie sam, ja nie umiem tego policzyć i wykazać że ciąg jest ograniczony czy monotoniczny....

[a4karo]

Akurat w a) łatwiej idzie z ilorazu (obliczenia masz niepoprawne)
W b) weż różnicę - zastosuj wzór trygonometryczny
W c) pozbądź się niewymierności, uprość a potem po prostu pomyśl

[Jumpeq]

a)
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac {\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^{n}}{n!}} =\frac{(n+1)^{n}(n+1)}{(n+1)!}*\frac{(n+1)!*n}{(n^{n})}=\frac{(n+1)^{n}(n+1)n}{n^{n}}}\)
Tu widzę jakieś kwiatki i dalej nie wiem co źle wymnażam. Jeszcze raz zaznaczę. Nie umiem tego dobrze wymnażać.

b) \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\cos\frac{1}{n+1}-\cos\frac{1}{n}=-2\sin\frac{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}}{2}\sin\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}}{2}=-2\sin\frac{2n+1}{2n^{2}+2n}\sin\frac{-1}{2n^{2}+2n}}\)
I co ja mam niby dalej z tym zrobić?

c) \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n^{2}+4n+3} -n-1 -\sqrt{n^{2}+2n} +n=\sqrt{n^{2}+4n+3} -\sqrt{n^{2}+2n} +n}\) Tu są trzy różne wyrazy, jak ja mam pozbyć się tutaj niewymierności? Umiem to zrobić dla dwóch wyrazów wtedy robię coś takiego \(\displaystyle{ (a+b)(a-b)}\) a tutaj? To się można bawić i bawić jak to się liczy, jakieś węże z tego powychodzą

[a4karo]

a) Źle liczysz: \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac {\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^{n}}{n!}} =\frac{(n+1)^n}{n^n}}\)
b) teraz myśl jaki znak ma to wyrażenie
c)\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{n^{2}+2n} -n=\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n} +n}=\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1\right)}}\) i teraz pora pomyśleć

[Jumpeq]

a) Źle liczysz: \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac {\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^{n}}{n!}} =\frac{(n+1)^n}{n^n}}\)

I co z tym dalej mogę zrobić? Jak mam to zinterpretować?
b) sinus jest funkcją okresową, niby jest tutaj znak ujemny więc też mam sądzić że znak jest ujemny?

c)\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{n^{2}+2n} -n=\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n} +n}=\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1\right)}}\) i teraz pora pomyśleć

Hmm Jak podstawię sobie tutaj parę wyrazów to wychodzi że jest to ciąg rosnący, tak? Wiem że nie można stosować metody podstawiania ale nie umiem tego rozpisać.

I w jaki sposób mam zbadać tutaj ograniczoność?

[a4karo]

a) Źle liczysz: \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac {\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^{n}}{n!}} =\frac{(n+1)^n}{n^n}}\)

I co z tym dalej mogę zrobić? Jak mam to zinterpretować?

Wiesz coś o ciągu \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\) ?

b) sinus jest funkcją okresową, niby jest tutaj znak ujemny więc też mam sądzić że znak jest ujemny?

Okresowośc nie ma tu nic do rzeczy. Interesuje ćię znak obu wyrażeń, które są dość małe. Włącz myślenie

c)\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{n^{2}+2n} -n=\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n} +n}=\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1\right)}}\) i teraz pora pomyśleć

Hmm Jak podstawię sobie tutaj parę wyrazów to wychodzi że jest to ciąg rosnący, tak? Wiem że nie można stosować metody podstawiania ale nie umiem tego rozpisać.

I w jaki sposób mam zbadać tutaj ograniczoność?

Wpadłaś na to, żeby ten ułamek uprościc. A jak już uprościsz, to spróbuj pomysleć np. tak:

W miejsce kropek wstaw jedno ze słów rośnie lub maleje

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ....
więc
\(\displaystyle{ \frac{2}{n}}\) ....
więc
\(\displaystyle{ 1+\frac{2}{n}}\) ....
więc
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{2}{n}}}\) ....
więc
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}\) ....
więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}}\) ....

[Jumpeq]

a) Źle liczysz: \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac {\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^{n}}{n!}} =\frac{(n+1)^n}{n^n}}\)

I co z tym dalej mogę zrobić? Jak mam to zinterpretować?

Wiesz coś o ciągu \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\) ?

tak jest to równe \(\displaystyle{ e}\)
Zatem mogę powiedzieć że dany ciąg jest stały (czyli jest monotoniczny) i jest ograniczony z góry i z dołu do liczby \(\displaystyle{ e}\)

Tyle że odpowiedź jest inna... ciąg rosnący, ograniczony z dołu przez 0, nieograniczony z góry.

b) \(\displaystyle{ -2sin\frac{2n+1}{2n^{2}+2n}sin\frac{-1}{2n^{2}+2n}}\) mogę to uprościć wyciągając minusa z drugiego równania i mam: \(\displaystyle{ 2sin\frac{2n+1}{2n^{2}+2n}sin\frac{1}{2n^{2}+2n}}\)

Skoro mam coś takiego to jak mam z tego uzasadnić że ciąg jest rosnący (monotoniczny). Dlatego bo widzę że znak jest dodatni? tak się chyba nie robi?

A jak sprawdzę ograniczoność? wiem że \(\displaystyle{ sin}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ (-1,1)}\)
To co podstawić i sprawdzić? Kiedy podstawie krańcowe wychodzi mi dla obu 0...
Hmm, to może podstawię 0? to mam coś takiego \(\displaystyle{ 2sin\frac{3}{4}sin\frac{1}{4}}\) no jak wymnożę to z tablic to mam jakieś \(\displaystyle{ 0,3}\) ale tak się nie robi...

Odpowiedź jest że ciąg jest rosnący, ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\) a z góry przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ale nadal nie przybliżam się do rozwiązania.



c)

Wpadłaś na to, żeby ten ułamek uprościc. A jak już uprościsz, to spróbuj pomysleć np. tak:

W miejsce kropek wstaw jedno ze słów rośnie lub maleje

No to wstawiam:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ....maleje
więc
\(\displaystyle{ \frac{2}{n}}\) ....maleje
więc
\(\displaystyle{ 1+\frac{2}{n}}\) ....maleje
więc
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{2}{n}}}\) ....maleje
więc
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}\) ....maleje
więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}}\) .... rośnie

Zatem czy ostatecznie ciąg jest rosnący? Nie.

W odpowiedzi mam że jest to ciąg malejący. Nic tu się nie zgadza.

A jak mam obliczyć to że jest ograniczony? Znowu podstawiać? nie tędy droga, nie wiem...

[a4karo]

Mam wrażenie, że patrzysz tylko na jedną rzecz na raz.

a) \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e}\). Wiadomo, że ten ciąg po prawej rośnie
W szczegówlności:\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 2}\)

A to oznacza, że kolejny wyraz jest co najmniej dwa razy większy, niż poprzedni. Potrafisz z tego wyciągnąć wnioski?

b)
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=2sin\frac{2n+1}{2n^{2}+2n}sin\frac{1}{2n^{2}+2n}}\). Co to będzie znaczyło jeżeli pokażesz, że prawa strona jest dodatnia?

c)
Wierzsz bardziej w to co ktoś napisał czy we własne rozumowanie?

[Jumpeq]

a) jeżeli kolejny wyraz jest co najmniej dwa razy większy niż poprzedni oznacza to że ciąg jest rosnący. Ale w jaki sposób mam pokazać jego ograniczoność?

b) jeżeli prawa strona jest dodatnia (a jest) oznacza to, że ciąg jest rosnący. Ale co z jego ograniczonością?

c) Każdy popełnia błędy i ja i twórcy tych zadań. No ale gdy za każdym razem wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedziach to zawsze mam mówić że ja mam racje a podręcznik kłamie? Nie dawałbym na forum tych zadań jeżeli sam potrafiłbym je rozwiązać. A nie potrafię.

[Premislav]

a) nijak, bo nie jest on ograniczony. Zauważ, że np. dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) mamy \(\displaystyle{ n!=2\cdot 3\cdot \dots n \le n\cdot n \cdot \dots n}\) (\(\displaystyle{ n-1}\) czynników), czyli \(\displaystyle{ \frac{n^n}{n!}\ge n}\)

b) a znasz zbiór wartości funkcji cosinus? [dla rzeczywistych argumentów oczywiście]-- 12 lis 2016, o 14:59 --Ogólnie to zawsze jest prawdą \(\displaystyle{ \frac{n^n}{n!}\ge n}\).

[Jumpeq]

a) nijak, bo nie jest on ograniczony. Zauważ, że np. dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) mamy \(\displaystyle{ n!=2\cdot 3\cdot \dots n \le n\cdot n \cdot \dots n}\) (\(\displaystyle{ n-1}\) czynników), czyli \(\displaystyle{ \frac{n^n}{n!}\ge n}\)

A jak sprawdzę jakies ujemne? to nie będą to jakieś liczby bliskie 0? Czyli nie powiemy że jest ograniczony z dołu od 0?

b) a znasz zbiór wartości funkcji cosinus? [dla rzeczywistych argumentów oczywiście]

tak znam i parę postów wyżej wstawiałem krańcowe do cosinusa i wychodzą z tego kwiatki

[Premislav]

Ale w żadnym razie nie masz sprawdzać żadnych ujemnych. Masz przecież sprawdzić ograniczoność ciągów, czyli funkcji, których dziedziną jest \(\displaystyle{ \NN}\).

Poza tym napis \(\displaystyle{ n!}\) nie ma sensu dla \(\displaystyle{ n<0}\).

A co do cosinusa, to jakie znowu "kwiatki" mają wychodzić??
\(\displaystyle{ \left\{ \cos \frac{1}{n}: n \in \NN \right\} \subset \left\{ \cos x: x \in \RR\right\}}\),
więc jeśli na większym zbiorze cosinus jest ograniczony, to na mniejszym też.

[Jumpeq]

Ograniczoności nie sprawdza się dla ujemnych? Przecież to ma być dla wszystkich wyrazów.

A co do cosinusa, to jakie znowu "kwiatki" mają wychodzić??
\(\displaystyle{ \left\{ \cos \frac{1}{n}: n \in \NN \right\} \subset \left\{ \cos x: x \in \RR\right\}}\),
więc jeśli na większym zbiorze cosinus jest ograniczony, to na mniejszym też.

No jak podstawię \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) to wychodzi \(\displaystyle{ 0}\)
A w odpowiedzi jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\) a z góry przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
a to się ma nijak do odpowiedzi

a podpunkt c wychodzi odwrotnie monotoniczność i dalej nie wiem jak policzyć ograniczoność