Matematyka.pl

\(\displaystyle{ F(x,y) = \frac{x \sqrt{|x|}y^3 }{|x|(y^4 + x^2)}}\)


Mam sprawdzić czy istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(0,0) }F(x,y)}\)


\(\displaystyle{ F(0,0)=0}\).

Próbowałem biegunowymi, ale wychodzi mi zależność od funkcji trygonometrycznych

Tego się nie da, trzeba mieć cheaty.

-- 11 lis 2016, o 01:51 --

Pomijam rozważania na temat dziedziny, wiadomo że \(\displaystyle{ x \neq 0}\) itd. Jeżeli \(\displaystyle{ |y| \le |x|}\), to można szacować tak:

\(\displaystyle{ \left| \frac{x \sqrt{|x|}y^3 }{|x|(y^4 + x^2)}\right|= \frac{\sqrt{|x|}|y|^3}{y^4+x^2}\le \sqrt{|y|} \frac{|x|y^2}{x^2+y^4} \le \frac{\sqrt{|y|}}{2}}\)

Pierwsze szacowanie to po prostu \(\displaystyle{ \sqrt{|y|} \le \sqrt{|x|}}\), a drugie wynika ze znanej nierówności \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2} \ge ab}\) (chciałem napisać, że z AM-GM, ale to nawet bez średnich jest łatwe) dla \(\displaystyle{ a=|x|, b=y^2}\).

-- 11 lis 2016, o 02:00 --

Dobra, ale to nic nie daje. Myślałem, że uda się z nierówności Younga, ale satysfakcjonowałyby nas takie \(\displaystyle{ p,q}\) dodatnie, że jednocześnie:
1) \(\displaystyle{ p>\frac 43, q>4}\)
2) \(\displaystyle{ \frac 1 p+\frac 1 q=1}\)
ale to jest sprzeczność.

Nie istnieje, podstaw \(\displaystyle{ x = y^2}\)