Układ równań z parametrem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: josef871 » 9 wrz 2007, o 14:34

w zależności od wartości parametru a rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ x_{1} \ + \ ax_{2} \ + \ x_{3} \ = \ a \\
ax_{1} \ + \ x_{2} \ + \ x_{3} \ = \ 1 \\
x_{1} \ + \ x_{2} \ + \ ax_{3} \ = \ a^{2}}\)


Obliczyłem wyznacznik, który wyszedł mi 0...nie mam za bardzo pomysłu jak to policzyć, proszę o pomoc...

[ Dodano: 9 Września 2007, 16:07 ]
hmm no cóż patrząc na ten układ od tak dochodze do tego że a = 1, a wtedy układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań...nie wiem czy to dobra odpowiedź może jakieś sugestie??
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2007, o 16:36 przez josef871, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Sylwek » 9 wrz 2007, o 16:15

Sprawdź swoje obliczenia, mi wyznacznik główny wyszedł:
\(\displaystyle{ a+a+a-1-a^3-1=-a^3+3a-2=-(a-1)^2(a+2)}\)

Oblicz pozostałe wyznaczniki, później sprawdź, kiedy układ jest oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny. Powinno wyjść

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Emiel Regis » 9 wrz 2007, o 16:33

Wyznacznik jest taki jak napisał mój poprzednik. Co do samego rozwiazania zacytuję twierdzenie Kroneckera-Capellego:
Układ równań liniowych ma rozwiązanie rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej.
Jeżeli rzędy te są równe liczbie niewiadomych to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Z powyższego twierdzenia wynika że dla a różnego od 1 oraz -2 układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
Natomiast co się dzieje gdy a wynosi 1 lub -2 sprawdzamy bezposrednio wstawiając żadaną wartość.
U nas wychodzi dla a=1 nieskonczenie wiele rozwiazan, dla a=-2 układ sprzeczny.

josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: josef871 » 9 wrz 2007, o 16:43

dzięki chłopaki za odp. no cóż wyznacznik wyszedł mi poprawny tylko ja go pozostawiłem w postaci\(\displaystyle{ -a^{3} + 3x - 2}\) z czego wywnioskowałem że a=1 i układ wtedy posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
Z powyższego twierdzenia wynika że dla a różnego od 1 oraz -2 układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
a da się to jakoś policzyć? czy to poprostu może być jako odpowiedź do zadania, trochę się z tym pogubiłem

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Sylwek » 9 wrz 2007, o 16:57

To wynika bezpośrednio z tego twierdzenia - nasz układ równań jest oznaczony (tzn. posiada jedno rozwiązanie) główny wyznacznik jest różny od zera, czyli dla a różnego od 1 oraz -2. Pozostałe 2 przypadki można sprawdzić przez bezpośrednie podstawienie (aby sprawdzić czy wyjdzie sprzeczność czy tożsamość).

Chociaż lepiej zastosuj rozwiązanie Drizzt, moje uzasadnienie jest na poziomie wiedzy licealnej
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2007, o 17:00 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Emiel Regis » 9 wrz 2007, o 16:58

Jest to odpowiedz do zadania.
Możesz tak uzasadnić:
Wyznacznik macierzy głównej poza tymi dwoma przypadkami jest różny od zera, czyli rząd macierzy głownej jest równy 3, i jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej. No a niewiadome są oczywiscie 3.

josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: josef871 » 9 wrz 2007, o 17:04

dzięki wielkie

ODPOWIEDZ