n-ta pochodna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
snoopy^^
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 29 sie 2007, o 08:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

n-ta pochodna

Post autor: snoopy^^ » 9 wrz 2007, o 14:20

Wyznaczyc wzor na n-ta pochodna funkcji \(\displaystyle{ \frac{ln(x)}{x}}\). Udowodnic go indukcyjnie.
Prosze o pomoc! Głownie chodzi mi o ustalenie wzoru na n-ta pochodna tej funkcji. Z gory dziekuje za kazda pomoc!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

n-ta pochodna

Post autor: max » 9 wrz 2007, o 15:21

Jeśli nie pomyliłem się w rachunkach, to wychodzi wzór:
\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n}n!}{x^{n + 1}}\ln x + \frac{(-1)^{n + 1}n!}{x^{n + 1}}H_{n} = \frac{(-1)^{n + 1}n!}{x^{n + 1}}(H_{n} - \ln x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ H_{n}}\) oznacza n-tą liczbę harmoniczną:
\(\displaystyle{ H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}}\)

Posłużyłem się wzorem Leibniza:
\(\displaystyle{ (u\cdot v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} {n\choose k}u^{(n - k)}v^{(k)}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u, v}\) to funkcje zmiennej \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) oznacza n-tą pochodną względem \(\displaystyle{ x}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\), przy czym \(\displaystyle{ f^{(0)} = f}\).
(dowód - przez indukcję)

ODPOWIEDZ