Wyznaczyc wzor na n-ta pochodna funkcji \(\displaystyle{ \frac{ln(x)}{x}}\). Udowodnic go indukcyjnie.
Prosze o pomoc! Głownie chodzi mi o ustalenie wzoru na n-ta pochodna tej funkcji. Z gory dziekuje za kazda pomoc!
n-ta pochodna
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
n-ta pochodna
Jeśli nie pomyliłem się w rachunkach, to wychodzi wzór:
\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n}n!}{x^{n + 1}}\ln x + \frac{(-1)^{n + 1}n!}{x^{n + 1}}H_{n} = \frac{(-1)^{n + 1}n!}{x^{n + 1}}(H_{n} - \ln x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ H_{n}}\) oznacza n-tą liczbę harmoniczną:
\(\displaystyle{ H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}}\)
Posłużyłem się wzorem Leibniza:
\(\displaystyle{ (u\cdot v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} {n\choose k}u^{(n - k)}v^{(k)}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u, v}\) to funkcje zmiennej \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) oznacza n-tą pochodną względem \(\displaystyle{ x}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\), przy czym \(\displaystyle{ f^{(0)} = f}\).
(dowód - przez indukcję)
\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n}n!}{x^{n + 1}}\ln x + \frac{(-1)^{n + 1}n!}{x^{n + 1}}H_{n} = \frac{(-1)^{n + 1}n!}{x^{n + 1}}(H_{n} - \ln x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ H_{n}}\) oznacza n-tą liczbę harmoniczną:
\(\displaystyle{ H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}}\)
Posłużyłem się wzorem Leibniza:
\(\displaystyle{ (u\cdot v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} {n\choose k}u^{(n - k)}v^{(k)}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u, v}\) to funkcje zmiennej \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) oznacza n-tą pochodną względem \(\displaystyle{ x}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\), przy czym \(\displaystyle{ f^{(0)} = f}\).
(dowód - przez indukcję)