oblicz sume
: 9 lis 2016, o 11:46
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1}+ \sqrt{2} }+\frac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} }+\frac{1}{ \sqrt{3}+ \sqrt{4} }}\)
Naprawdę tak wygląda polecenie? To nie jest ani ciąg arytmetyczny, ani geometryczny.
Można natomiast wyliczyć, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}= \sum_{k=1}^{n}\left( \sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)=\sqrt{n+1}-1}\),
co dla mnie jest trochę zaskakujące.
Skorzystałem ze wzoru: \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}= \frac{a-b}{a^2-b^2}}\) dla \(\displaystyle{ a=\sqrt{k+1}, b=\sqrt{k}}\). Dalej dużo wyrazów się skraca, bo
\(\displaystyle{ \sqrt{(k+1)+1}-\sqrt{k+1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\dots}\) i tak dalej.
Podstaw \(\displaystyle{ n=3}\) i tyle.