zbieżność jednostajna

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
snoopy^^
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 29 sie 2007, o 08:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

zbieżność jednostajna

Post autor: snoopy^^ » 9 wrz 2007, o 14:12

Zbadać zbieżność jednostajną ciągu funkcji
\(\displaystyle{ f_{n}(x)=\cos\left(\frac{x}{n+1}\right)}\) na:
a) zbiorze \(\displaystyle{ [-1, 1]}\)
b) prostej \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

Uprzejmie proszę o pomoc. Z góry dziękuję za odpowiedź!
Poprawa zapisu.
max
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2007, o 14:41 przez snoopy^^, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

zbieżność jednostajna

Post autor: robin5hood » 9 wrz 2007, o 20:40

Ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_{n}(x))_{n\in\mathbb{N}}}\) określonych w przedziale \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny jednostajnie wtw gdy ciąg:
\(\displaystyle{ s_{n} = \sup\{|f_{n}(x)-f(x)|\ : \ x\in X \}}\) jest zbieżny do zera.
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f_n(x)=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in [-1,1] \}}\)
pochodna \(\displaystyle{ f_{n}(x)-1}\) zeruje sie gdy x=0 zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in [-1,1] \}=0}\)
wiec ten szereg jest jednostajnie zbiezny
b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f_n(x)=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in R \}}\)
pochodna \(\displaystyle{ f_{n}(x)-1}\) zeruje sie gdy \(\displaystyle{ \frac{x}{n+1}=k \pi}\) k-liczba calkowita
zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in R \}=\lim_{n\to } \sup\|(-1)^n-1|\ : \ x\in R \}=2}\)
wiec ten szereg nie jest jednostajnie zbiezny

mmarry
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 wrz 2007, o 11:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 42 razy

zbieżność jednostajna

Post autor: mmarry » 17 wrz 2007, o 07:40

Jak wychodzi w przypadku a) zbieżność jednostajna? Rozumiem, że pochodna się zeruje gdy x=0, ale po podstawieniu pod wyraz ogólny tego x wychodzi cos(0) i to nie jest równe 0.....

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

zbieżność jednostajna

Post autor: Sir George » 17 wrz 2007, o 10:25

:arrow: robin5hood: cosik mi się nie podoba w Twoim rozwiązaniu przykładu a)... Przecież dla x=0 mamy \(\displaystyle{ f_n(0)-1=0}\), a nie chcesz chyba powiedzieć, że \(\displaystyle{ |f_n(x)-1|\le0}\) (co jest oczywistą nieprawdą)!


:arrow: mmary: rozwiązanie robin5hood'a, to klasyczny błąd, z którym spotykam się u studentów 1-go roku. Ekstrema funkcji leżą dla nich wyłącznie tam, gdzie pochodna funkcji się zeruje...

mmarry
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 wrz 2007, o 11:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 42 razy

zbieżność jednostajna

Post autor: mmarry » 17 wrz 2007, o 12:16

Hmm, czyli w przypadku a) granica jednostajna również nie istnieje?

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

zbieżność jednostajna

Post autor: micholak » 17 wrz 2007, o 13:39

Istnieje zeby to dobrze zobaczyc wytsrczy narysowac kilka pierwszych funkcji (stad tez widac ze wartosc najwieksza bedzie na krancu przedzialu, ew skorzystac z tw ze jak mamy ciag funkcji ciaglych na zbiorze zwartym taki ze \(\displaystyle{ f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\geq0}\) dla wszystkich x ze zbioru, zbiezny do funkcji ciaglej to ciag ten jest zbiezny jednostajnie)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

zbieżność jednostajna

Post autor: robin5hood » 17 wrz 2007, o 14:26

ale czy dla x=0 czy dla x=1 czy dla x=-1 to i tak
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in [-1,1] \}=0}\)

ODPOWIEDZ