Rozwiąż równanie

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
jacek_ns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 169
Rejestracja: 29 sty 2007, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 17 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: jacek_ns » 9 wrz 2007, o 13:56

\(\displaystyle{ \sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}=x}\) - wychodzi mi 2 a powinno 4 może ktoś objaśnić gdzie leży mój błąd?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Sylwek » 9 wrz 2007, o 14:12

Błąd jest na pewno, wystarczy podstawić 2 do równania .Podnoszę obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ 5+x+2\sqrt{(5-x)(5+x)}+5-x=x^2 \\ 2\sqrt{(25-x^2)}=x^2-10 \ | \ ()^{2} \\ 100 - 4x^2=x^4-20x^2+100 \\ x^4-16x^2=0 \\ x^2(x^2-16)=0 \\ x^2(x-4)(x+4)=0 \\ x=-4 x=0 x=4}\)

Jako że nie ustalaliśmy dziedziny (metoda analizy starożytnych), więc musimy sprawdzić poprawność rozwiązań przez podstawienie bezpośrednie. Wychodzi, że x=4.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Piotr Rutkowski » 9 wrz 2007, o 14:16

Podnieśmy do kwadratu
\(\displaystyle{ x^{2}=(5+x)+(5-x)+2*(\sqrt{25-x^{2})}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-10=2*(\sqrt{25-x^{2})}\)
Znów podnieśmy do kwadratu:
\(\displaystyle{ x^{4}-20x^{2}+100=4*25-4*x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-16x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}-16)=0}\), a ztym już sobie poradzisz

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Kasiula@ » 9 wrz 2007, o 14:16

Skoro \(\displaystyle{ x=\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \in [-5,5]\\x>0\end{cases}}\)
Otrzymujemy stąd,że \(\displaystyle{ x (0,5]}\)

\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x} /()^{2} 10+2\sqrt{25-x^{2}}=x^{2}}\)
\(\displaystyle{ 10-x^{2}=-2\sqrt{25-x^{2}} /()^{2} -16x^{2}+x^{4}=0}\)
Otrzymujemy stąd:
\(\displaystyle{ x=0 x=-4 x=4}\)
Ale \(\displaystyle{ x (0,5]}\),zatem x=4

jacek_ns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 169
Rejestracja: 29 sty 2007, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 17 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: jacek_ns » 9 wrz 2007, o 14:48

dzieki wszystkim

ODPOWIEDZ