Matematyka.pl

Cześć, nie było mnie na zajęciach i nie mam pojęcia jak rozwiązać tę nierówność, w ogóle nierówności:

\(\displaystyle{ \sin (t) + \cos (t) > 0}\)

mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku na tym przykładzie jak to się robi?

Zamień na początku np. \(\displaystyle{ \sin t}\) na cosinusa przy użyciu wzorów redukcyjnych, a następnie skorzystaj ze wzoru na sumę cosinusów.

A może tak:

\(\displaystyle{ \sin t+ \cos t>0}\)

Podnieśmy obie strony nierówności do kwadratu:

\(\displaystyle{ \left( \sin t+ \cos t\right)^2 >0}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 t + \cos^2t+ 2\sin t \cos t >0}\)

Dalej dasz radę sama?

Dilectus, to podejście jest tak złe, że aż trudno to wysłowić.
Czy uważa Pan, że z tego, iż \(\displaystyle{ (-1)^2>0}\) wynika, że \(\displaystyle{ -1>0}\)??

-- 7 lis 2016, o 23:57 --

Cały problem w tym, że nierówności możemy przekształcać równoważnie. Podnoszenie stronami do kwadratu (tutaj) nie jest przekształceniem równoważnym. W szczególności każda liczba rzeczywista różna od zera ma kwadrat większy od zera, ale nie każda liczba rzeczywista różna od zera jest większa od zera.

Jeśli suma dwóch liczb jest większa od zera, to kwadrat tej sumy też jest większy od zera.

Czyli sposób odpowiedzi proponowany przez Dilectusa jest dobry?

No cóż, nie ukrywam, że nadal mam z tym problem. Wiem z jedynki trygonometrycznej, że

\(\displaystyle{ \sin^2 t + \cos^2t = 1}\)

a z wzorów redukcyjnych

\(\displaystyle{ 2\sin t \cos t = \sin 2t}\)

ale co dalej?

Dalej jest tak:

\(\displaystyle{ \sin^2 t + \cos^2t+ 2\sin t \cos t >0}\)

\(\displaystyle{ \sin2t>-1 \ \Rightarrow \ t \neq \frac{3}{4}\pi+k \pi}\)

Sposób Dilectusa nie jest dobry, poniewaź

\(\displaystyle{ \left( \sin t+ \cos t\right)^2 >0 \Leftrightarrow \sin t +\cos t \neq 0}\)

a nam chodzi o nierówność

\(\displaystyle{ \sin t + \cos t > 0}\)

Dilectus pisze:Jeśli suma dwóch liczb jest większa od zera, to kwadrat tej sumy też jest większy od zera.

Dilectus pisze:Dalej jest tak:

\(\displaystyle{ \sin^2 t + \cos^2t+ 2\sin t \cos t >0}\)

\(\displaystyle{ \sin2t>-1 \ \Rightarrow \ t \neq \frac{3}{4}\pi+k \pi}\)

Przykro mi, ale to rozwiązanie jest do niczego, a zastrzeżenie Premislava jak najbardziej słuszne. Zgodnie z Twoim rozwiązaniem nierówność \(\displaystyle{ \sin t+ \cos t>0}\) powinna być prawdziwa dla \(\displaystyle{ t=\pi}\), czyli "udowodniłeś", że \(\displaystyle{ -1>0}\)...

Pomysł Lidera_M jest chyba najszybszy.

JK

Dilectus pisze:Jeśli suma dwóch liczb jest większa od zera, to kwadrat tej sumy też jest większy od zera.

Tak, ale nie na odwrót. I w tym jest problem, bo znajdujesz dzięki temu \(\displaystyle{ t}\), dla których kwadrat jest dodatni, ale wyjściowa suma już nie musi być dodatnia.

Jan Kraszewski pisze: Przykro mi, ale to rozwiązanie jest do niczego

JK

W takim razie odszczekuję: hau, hau.

Zamieńcie to na iloczyn a potem zobaczcie kiedy iloczyn dwóch liczb jest większy od zera
Kinia Twoje rozwiązanie dla przeciętnego zjadacza chleba jest całkiem nieoczywiste.

\(\displaystyle{ \sin t+\cos t=\cos t\left( \tg t+1\right) >0\ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases} \cos t>0\ \wedge\ \tg t>-1\\\ lub\\\cos t<0\ \wedge \ \tg t<-1\end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} -\frac14\pi+2k\pi<t<\frac12\pi+2k\pi \\\ lub\\\frac12\pi+2k\pi<t<\frac34\pi+2k\pi \end{cases}}\)
pozostaje sprawdzić nierówność wyjściową dla \(\displaystyle{ t=\frac12\pi+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac12\pi+2k\pi \right) +\cos\left( \frac12\pi+2k\pi\right) =1>0\ \ \Rightarrow \ \ \blue{-\frac14\pi+2k\pi<t<\frac34\pi+2k\pi}}\)

Ja bym wolał

\(\displaystyle{ \sin t+\cos t=\sin t+\sin\left( \frac{\pi}{2} -t\right)=2\sin\frac{t+\frac{\pi}{2} -t}{2}\cos\frac{t-\frac{\pi}{2} +t}{2} =2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left( t-\frac{\pi}{4}\right) =\\=\sqrt{2} \cos\left( t-\frac{\pi}{4}\right)}\)

\(\displaystyle{ \cos\left( t-\frac{\pi}{4}\right)>0 \Leftrightarrow -\frac{\pi}{2}+2k\pi< t-\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2k\pi \Leftrightarrow \blue{-\frac14\pi+2k\pi<t<\frac34\pi+2k\pi}}\)

JK