Matematyka.pl

Nie mam pomysłu jak udowodnić poniższe równanie (próbowałem indukcją ale nie udało mi się zrobić kroku indukcyjnego):
\(\displaystyle{ a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \newline
b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{\gcd(m,n)} - b^{\gcd(m,n)} =\gcd(a^{m}-b^{m},a^{n}-b^{n})}\)
\(\displaystyle{ m,n}\) to dowolne dodatnie liczby naturalne.
Będę wdzięczny za każdą pomoc.

Popraw trochę, bo te liczby nie będą często nawet całkowite. Chodzi najwyraźniej o znany fakt, że
\(\displaystyle{ \nwd(F_m,F_n)=F_{\nwd(m,n)}}\), gdzie \(\displaystyle{ F_k}\) jest k-tą liczbą Fibonacciego.

Przyda się coś takiego jako lemat (dowód może być indukcyjny, choć i bez tego jakoś się dało), że
\(\displaystyle{ F_{k+n}=F_k F_{n-1}+F_{k+1}F_n}\)-- 7 lis 2016, o 13:25 --Aha, równania się rozwiązuje, a nie udowadnia. Udowodnić można równość/tożsamość.