Matematyka.pl

Czy funkcja\(\displaystyle{ f(x,y) = \sin( \frac{ \pi }{1 - (x^2 + y^2)} )}\) jest jednostajnie ciągła na kole \(\displaystyle{ {(x,y) \in R^2: x^2 + y^2 <1}}\)

z tego co wyczytałem w skrypcie to jeśli zbiór argumentów jest zwarty, a funkcja jest ciągła to funkcja jest jednostajnie ciągła, ale ten zbiór zwarty nie jest, bo nie jest domknięty.. Rozumiem, że te warunki nie są równoważne i te wnioski niczego nie rozstrzygają, ale nie wiem jak się zabrać do udowodnienia braku jednostajnej ciągłości

Załóżmy, że ta funkcja jest jednostajnie ciągła. Wówczas jej obcięcie do osi \(\displaystyle{ x}\)-ów też jest funkcją jednostajnie ciągłą. Oznacza to, że funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\sin\left(\frac{\pi}{1-x^2}\right)}\) jest jednostajnie ciągła na zbiorze \(\displaystyle{ -1<x<1}\). Z definicji jednostajnej ciągłości istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) taka, że jeżeli \(\displaystyle{ |x_1-x_2|< \delta}\) to \(\displaystyle{ |g(x_1)-g(x_2)|< \frac{1}{2}}\). Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \lim \sup_{x\rightarrow -1} g(x)=1}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim \inf_{x\rightarrow -1} g(x)=-1}\)
Z drugiej strony na przedziale \(\displaystyle{ (1-\delta,1)}\) mamy \(\displaystyle{ |g(x_1)-g(x_2)|<\frac{1}{2}}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x_1,x_2\in (1-\delta,1)}\). To stanowi sprzeczność.

Oczywiście można też skorzystać z faktu, że funkcja jednostajnie ciągła zdefiniowana na gęstym podzbiorze przestrzeni zupełnej przedłuża się jednoznacznie na całą przestrzeń i w ten sposób uzyskać sprzeczność.