Matematyka.pl

czy funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{1-\cos ((x+y)^2)}{x^2 + y^2}&\mbox{ dla }(x,y) \neq (0,0) \\ 0&\mbox{ dla }(x,y) = (0,0)\end{cases}}\)

jest ciągła w \(\displaystyle{ (0,0)}\)?

Wystarczy sprawdzić, czy
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-\cos ((x+y)^2)}{x^2 + y^2}=0}\)
Wskazówka: z rozwinięcia w szereg Maclaurina lub ze sztuczek ze znaną granicą
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}}\) wynika, że
\(\displaystyle{ \cos t \approx 1- \frac{t^2}{2}}\) dla małych co do modułu \(\displaystyle{ t}\).

Ale teraz widzę, że to trochę nieścisłe. Lepiej będzie udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ \cos t \ge 1- \frac{t^2}{2}}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) (rachunek różniczkowy) - stąd dostaniesz, że \(\displaystyle{ 1-\cos((x+y)^2) \le \frac{(x+y)^4}{2}}\).
\(\displaystyle{ 1-\cos t \ge 0}\) (oczywiste) i cisnąć z twierdzenia o trzech funkcjach.

Aha, i do pełnego szczęścia przyda się też szacowanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{2}{(x+y)^2}}\)