Matematyka.pl

Wyznaczyć wszystkie punkty, w których f jest różniczkowalna.

\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = \begin{cases} \frac{\ln \left( 1+xy \right) }{y}&\mbox{ dla }y \neq 0 \\ x&\mbox{ dla }y = 0 \end{cases}}\)

dla \(\displaystyle{ y = 0}\) pochodne cząstkowe są ciągłe zatem jest różniczkowalna

dla \(\displaystyle{ y \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} \frac{\ln \left( 1+xy \right) }{y} = \frac{1}{1+xy}}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} \frac{\ln \left( 1+xy \right) }{y} = \frac{x}{y \left( 1+xy \right) } + \frac{\ln \left( 1+xy \right) }{y^2}}\)

punkt postaci \(\displaystyle{ \left( x, -\frac{1}{x} \right)}\) wygląda podejrzanie, ale za bardzo nie wiem jak to dalej pociągnąć

Zacznij od dziedziny.

MrRipley pisze: dla \(\displaystyle{ y = 0}\) pochodne cząstkowe są ciągłe zatem jest różniczkowalna

Nie wiem skąd taki wniosek.

Rozumiem, że literówka i chodziło Ci o to, że dla \(\displaystyle{ y \neq 0}\) pochodne cząstkowe są ciągłe więc funkcja jest różniczkowalna? Jak tak to działa i zostaje sprawdzić co z punktami postaci \(\displaystyle{ (x, 0)}\). Aby funkcja była różniczkowalna w danym punkcie \(\displaystyle{ p = (x,0)}\) musi istnieć różniczka \(\displaystyle{ Df:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}}\), taka, że:

\(\displaystyle{ \lim_{\parallel h \parallel \to 0} \frac{\parallel f(p+h)-f(p)-Df(p)\cdot h \parallel }{\parallel h \parallel} = 0}\)

Znanym faktem jest, że jeżeli takie przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ Df}\) istnieje, to:

\(\displaystyle{ Df(p) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}f(p)}\)

Mamy \(\displaystyle{ f(x,0) = x}\), stąd \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}f(x, y) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}f(x, y) = 0}\), stąd sprawdzamy, czy:

\(\displaystyle{ 0 = \lim_{(h_1,h_2) \to (0, 0)} \frac{f(x+h_1, h_2) - f(x, 0) - h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \\ \\ \\ = \frac{\frac{\ln(1+h_2(x+h_1))}{h_2}-x-h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \\ \\ \\ = \frac{\frac{\ln(1+h_2(x+h_1))}{h_2(x+h_1)} \cdot (x+h_1) - (x+h_1)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \\ \\ \\ = \frac{(x+h_1)\left(\frac{\ln(1+h_2(x+h_1))}{h_2(x+h_1)}-1\right)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}}\)

Oczywiste jest, że \(\displaystyle{ \lim_{(h_1, h_2) \to (0, 0)}\frac{\ln(1+h_2(x+h_1))}{h_2(x+h_1)}-1 = 0}\). Jeżeli \(\displaystyle{ x = 0}\) to \(\displaystyle{ 0 \le |\frac{h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}| \le 1}\), stąd mamy iloczyn czegoś ograniczonego i zbieżnego do 0, co jest zbieżne do 0, czyli w punkcie \(\displaystyle{ p = (0, 0)}\) dana funkcja jest różniczkowalna. Jeżeli \(\displaystyle{ x \neq 0}\), to przyjmując \(\displaystyle{ h_1 = 0}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{\ln(1+xh_2)}{xh_2}-1}{|h_2|} = \frac{1-\frac{xh_2}{2}+o(h_2)-1}{|h_2|} = \frac{-xh_2+o(h_2)}{2|h_2|}}\)

Stąd \(\displaystyle{ \lim_{(h_1, h_2) \to (0,0)} \frac{(x+h_1)\left(\frac{\ln(1+h_2(x+h_1))}{h_2(x+h_1)}-1\right)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \lim_{(h_1, h_2) \to (0,0)} x \cdot \frac{-xh_2+o(h_2)}{2|h_2|} = \pm \frac{-x^2}{2}}\)

Ale dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) jest \(\displaystyle{ \frac{-x^2}{2} \neq 0}\), czyli w punktach \(\displaystyle{ (x, 0), x \neq 0}\) funkcja nie jest różniczkowalna.

Ostatecznie \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w punktach \(\displaystyle{ (x, y)}\) takich, że \(\displaystyle{ y \neq 0 \vee (x,y) = (0, 0)}\)