Matematyka.pl

Mam problem z następującym zadaniem:
Czy każdą liczbę naturalną można zapisać jako \(\displaystyle{ a ^{2} +2b ^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b}\) należą do liczb całkowitych?

A spróbowałaś z kilkoma poczatkowymi?

Racja liczby 4 nie da się zapisać w ten sposób. A można pokazać, że takich liczb jest nieskończenie wiele?

\(\displaystyle{ 4=2^2+2\cdot 0^2}\).

Za to \(\displaystyle{ 5}\) się już nie da, podobnie nie da się przedstawić w takiej postaci żadnej liczby \(\displaystyle{ n}\), dla której \(\displaystyle{ n\equiv 5,7\pmod{8}}\), co wynika z faktu, że \(\displaystyle{ n^2\equiv 0,1,4\pmod 8}\), zatem liczb niedających się przedstawić w takiej formie jest nieskończenie wiele.