Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że \(\displaystyle{ a + b > 0}\). Pokaż, że liczby \(\displaystyle{ \frac{a}{NWD\left( a,b\right)}, \frac{b}{NWD\left( a,b\right)}}\) są względnie pierwsze

Każdą liczbę możemy zapisać jako iloczyn liczb pierwszych, wtedy powiedzmy, że ich reprezentacja wygląda tak:

\(\displaystyle{ a = a_{1}^{ \alpha _{1}} \cdot a_{2}^{ \alpha _{2}} \cdot \ldots \cdot a_{i}^{ \alpha _{i}}\\
b = b_{1}^{ \beta _{1}} \cdot b_{2}^{ \beta _{2}} \cdot \ldots \cdot b_{i}^{ \beta _{i}}}\)

Skoro \(\displaystyle{ NWD(a,b) = k_{1}^{ \min \left( \alpha_{1}, \beta_{1}\right) } \cdot k_{2}^{ \min \left( \alpha_{2}, \beta_{2}\right) } \cdot \ldots \cdot k_{i}^{ \min \left( \alpha_{i}, \beta_{i}\right) }}\)

Oznacza, że \(\displaystyle{ NWD}\) zawiera wszystkie wspólne dzielniki liczb \(\displaystyle{ a,b}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{a}{NWD\left( a,b\right)}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{NWD\left( a,b\right)}}\) to liczby bez wspólnych dzielników zatem liczby \(\displaystyle{ \frac{a}{NWD\left( a,b\right)}, \frac{b}{NWD\left( a,b\right)}}\) są względnie pierwsze, bo ich \(\displaystyle{ NWD}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\).



Co sądzicie?

kaetae pisze:Zatem \(\displaystyle{ \frac{a}{NWD\left( a,b\right)}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{NWD\left( a,b\right)}}\) to liczby bez wspólnych dzielników zatem liczby \(\displaystyle{ \frac{a}{NWD\left( a,b\right)}, \frac{b}{NWD\left( a,b\right)}}\) są względnie pierwsze, bo ich \(\displaystyle{ NWD}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

No dobrze, ale dlaczego? Wnioskujesz tezę o tak, po prostu, bo wydzieliłaś liczby przez ich \(\displaystyle{ NWD}\). Gdybyśmy mogli pomachać rękami, Twój dowód "przeszedłby".

Dlaczego właściwie wydzielenie przez \(\displaystyle{ NWD}\) powoduje, że liczby stają się względnie pierwsze?

Jeżeli interesuje Cię inne, według mnie mniej porażające znaczkowo, zajrzyj poniżej:

Dlaczego właściwie wydzielenie przez NWD powoduje, że liczby stają się względnie pierwsze?

NWD to również liczba postaci
\(\displaystyle{ a = a_{1}^{ \alpha _{1}} \cdot a_{2}^{ \alpha _{2}} \cdot \ldots \cdot a_{i}^{ \alpha _{i}}\\ b = b_{1}^{ \beta _{1}} \cdot b_{2}^{ \beta _{2}} \cdot \ldots \cdot b_{i}^{ \beta _{i}}}\)

będący największym wspólnym dzielnikiem obu liczb oraz zawierająca wszystkie, inne dzielniki wspólne obu liczb. Zatem po przedzieleniu tych liczb przez wspólne dzielniki mamy liczby bez wspólnych dzielników.

\(\displaystyle{ q_{a}= \frac{a_{1}^{ \alpha _{1}} \cdot a_{2}^{ \alpha _{2}} \cdot \ldots \cdot a_{i}^{ \alpha _{i}}}{k_{1}^{ \min \left( \alpha_{1}, \beta_{1}\right) } \cdot k_{2}^{ \min \left( \alpha_{2}, \beta_{2}\right) } \cdot \ldots \cdot k_{i}^{ \min \left( \alpha_{i}, \beta_{i}\right) }}
\\}\)
\(\displaystyle{ q_{b}= \frac{b_{1}^{ \beta _{1}} \cdot b_{2}^{ \beta _{2}} \cdot \ldots \cdot b_{i}^{ \beta _{i}}
}{k_{1}^{ \min \left( \alpha_{1}, \beta_{1}\right) } \cdot k_{2}^{ \min \left( \alpha_{2}, \beta_{2}\right) } \cdot \ldots \cdot k_{i}^{ \min \left( \alpha_{i}, \beta_{i}\right) }}}\)???

Tylko to mi przychodzi na myśl.

A może tak:
jeżeli \(\displaystyle{ k|\frac{a}{NWD(a,b)}}\) i \(\displaystyle{ k|\frac{b}{NWD(a,b)}}\), to
\(\displaystyle{ k\cdot NWD(a,b)|a}\) i \(\displaystyle{ k\cdot NWD(a,b)|b}\).

Zatem \(\displaystyle{ k\cdot NWD(a,b)\leq NWD(a,b)}\), (bo \(\displaystyle{ NWD}\) jest NAJWIĘKSZYM dzielnikiem OBU liczb) czyli \(\displaystyle{ k=1}\)

kaetae pisze: Zatem po przedzieleniu tych liczb przez wspólne dzielniki mamy liczby bez wspólnych dzielników.

Ale to właśnie musisz pokazać - weź liczbę naturalną \(\displaystyle{ k}\) i uzasadnij, że nie może ona dzielić tak otrzymanych liczb jednocześnie.

P.S. a4karo podaje, jak to zrobić.

a4karo, mógłbyś wyjaśnić, jak doszedłeś do przejścia \(\displaystyle{ k|\frac{a}{NWD(a,b)} \implies k\cdot NWD(a,b)|a}\), bo rozwiązanie wygląda na ciekawe