Matematyka.pl

Hej, proszę o pomoc z tymi zadaniami

zad. 1.
Niech \(\displaystyle{ f, g: \RR \rightarrow \RR}\) oznaczają dowolne funkcje. Niech \(\displaystyle{ A = \left\{ x \in \RR | f \left( x \right) = 0 \right\} ,
B = \left\{ x \in \RR | g \left( x \right) = 0 \right\}}\) i\(\displaystyle{ C = \left\{ x \in \RR | f \left( x \right) + g \left( x \right) = 0 \right\}}\). Czy zachodzą następujące związki:
(a)\(\displaystyle{ A \subseteq C}\), (b) \(\displaystyle{ B \subseteq C}\) , (c) \(\displaystyle{ A \cup B \subseteq C}\), (d) \(\displaystyle{ A \cap B \subseteq C}\).

zad. 2.
Znajdź \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty } A _{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty } A _{n}}\) dla ciągu zbiorów \(\displaystyle{ A _{n}, n \in \NN \setminus \left\{ 0 \right\}}\) określonych
następująco:
(a) \(\displaystyle{ A _{n} = \left\{ x \in \RR : x \le n \right\}}\)
(b) \(\displaystyle{ A _{n} = \left\{ x \in \RR : -n \le x \le n \right\}}\)
(c) \(\displaystyle{ A _{n} = \left\{ x \in \RR : 0 < x \le \frac{1}{n} \right\}}\)
(d) \(\displaystyle{ A _{n} = \left\{ x \in \RR: \frac{1}{n} \le x \le n\right\}}\)
(e) \(\displaystyle{ A _{n} = \left\{ x \in \RR : n < x < n^{2} + 1 \right\}}\)
(f) \(\displaystyle{ A _{n} = \left\{ x \in \RR : n ^{2} < x < n + 100 \right\}}\)
(g) \(\displaystyle{ A _{n} = \left\{ x \in \RR : 2n < x < n ^{2} + 100 \right\}}\)

zad. 3.
Znajdź \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in \RR}^{} A _{t}}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{t \in \RR}^{} A _{t}}\) dla ciągu zbiorów \(\displaystyle{ A _{t}, t \in \RR}\) określonych następująco:
(a)\(\displaystyle{ A_t = \left\{ x \in\RR : |x - 2| > t ^{2} \right\} ;}\)
(b) \(\displaystyle{ A_t = \left\{ x \in \RR : |x - 5| < \sin t + 2 \right\} ;}\)
(c) \(\displaystyle{ A_t = \left\{ \left( x, y \right) \in \RR ^{2}: x ^{2} + y ^{2} \ge t ^{2} \right\}}\)

zad. 4.
Dane są zbiory
\(\displaystyle{ A = \left\{ \left( x, y \right) \in \RR ^{2} | x ^{2} + y ^{2} \le 1 \right\} , B = \left\{ \left( x, y \right) \in \RR ^{2} | x + y = a \right\}}\) .
Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ a \in \RR}\) , zbiór \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest jednoelementowy?

Nie chce mi się patrzeć na te wszystkie sumy, dawno już zdałem WdM u Pana Kraszewskiego i nie muszę tego lubić.

Ostatnie zadanie jest szkolne, więc podpowiem: masz Pan domknięte koło o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i pytasz, kiedy prosta \(\displaystyle{ y=-x+a}\) przecina to dziadostwo tylko w jednym punkcie - czyli łatwo wywnioskować, że potrzeba i wystarcza, by prosta była styczna do okręgu o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Równanie stycznej do wykresu funkcji itd.
(oczywiście przy takim rzemieślniczym podejściu trzeba by rozbić wzór okręgu na takie "kawałki", by była ładna funkcja, tj. dla \(\displaystyle{ y>0}\) mamy \(\displaystyle{ y(x)=\sqrt{x^2-1}}\), zaś dla \(\displaystyle{ y<0}\) jest \(\displaystyle{ y(x)=-\sqrt{x^2-1}}\), a dla \(\displaystyle{ y=0}\) to wszystko jedno).

W zad. 1 wystarczy przeczytać, co oznaczają te warunki. Np. \(\displaystyle{ A \subseteq C}\) oznacza, że jeśli \(\displaystyle{ f(x)=0}\), to \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=0}\). Czy jest to prawdą dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ f,g}\) ?

W zad. 2 i 3 wypadałoby podać swoje propozycje do sprawdzenia.

Premislav pisze:dawno już zdałem WdM u Pana Kraszewskiego (..)
Ostatnie zadanie jest szkolne

Szkoła była jeszcze dawniej...

JK

PS. Nie używaj symboli z Tabeli znaków (\(\displaystyle{ \LaTeX}\) ich nie widzi), tylko koduj.

Premislav pisze:Nie chce mi się patrzeć na te wszystkie sumy, dawno już zdałem WdM u Pana Kraszewskiego i nie muszę tego lubić.

Ostatnie zadanie jest szkolne, więc podpowiem: masz Pan domknięte koło o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i pytasz, kiedy prosta \(\displaystyle{ y=-x+a}\) przecina to dziadostwo tylko w jednym punkcie - czyli łatwo wywnioskować, że potrzeba i wystarcza, by prosta była styczna do okręgu o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Równanie stycznej do wykresu funkcji itd.
(oczywiście przy takim rzemieślniczym podejściu trzeba by rozbić wzór okręgu na takie "kawałki", by była ładna funkcja, tj. dla \(\displaystyle{ y>0}\) mamy \(\displaystyle{ y(x)=\sqrt{x^2-1}}\), zaś dla \(\displaystyle{ y<0}\) jest \(\displaystyle{ y(x)=-\sqrt{x^2-1}}\), a dla \(\displaystyle{ y=0}\) to wszystko jedno).

A sama odległość prostej od \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie wystarczy ?

Dzięki, z czwartym zadaniem już sobie poradziłem. Mam prośbę. Czy mógłby ktoś rozwiązać ze 2 przykłady z zadania 2? Wtedy będę wiedział jak działać. A może chociaż wytłumaczyć jak podejść do tego zadania?

Narysować na prostej kilka kolejnych zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) i zauważyć, według jakiej reguły powstają. A potem podać wynik.

JK

To ja zaproponuję ciut ogólniejszą metodę: