Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ W \subset R ^{4}}\) będzie przestrzenią rozwiązań układu równań:

\(\displaystyle{ U:\begin{cases} x _{1}-2x _{2}+3x _{3}-x _{4}=0\\-4x _{1}+8x _{2}-12x _{3}+4x _{4}=0\end{cases}}\)

a)Które z poniższych układów \(\displaystyle{ A _{i}}\) są bazami przestrzeni \(\displaystyle{ W}\):
\(\displaystyle{ A _{1}=\left\{ \left( 1,0,0,1\right), \left( -1,1,1,0\right), \left( 0,1,1,1\right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ A _{2}=\left\{ \left( 2,2,1,1\right), \left( 3,0,0,3\right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ A _{3}=\left\{ \left( 2,1,0,0\right), \left( -3,0,1,0\right), \left( -2,0,1,1\right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ A _{4}=\left\{ \left( 1,1,1,2\right), \left( 1,0,0,1\right), \left( 0,3,2,0\right),\left( 2,1,0,0\right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ A _{5}=\left\{ \left( 1,0,0,0\right), \left( 0,1,1,1\right), \left( 2,1,0,0\right) \right\}}\)
b) Znaleźć wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ W \cap Z}\) dla \(\displaystyle{ Z=lin\left( \left( 0,0,0,1\right),\left( 1,0,0,2\right) \right)}\)

Więc co do a) to po rozwiązaniu wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\\x _{4}\end{array}\right] =s\left[ \begin{array}{c} 2\\1\\0\\0\end{array}\right] +t\left[ \begin{array}{c} -3\\0\\1\\0\end{array}\right] +w\left[ \begin{array}{c} 1\\0\\0\\1\end{array}\right]}\), a zatem te trzy wektory tworzą bazę.
Teraz co do tych odpowiedzi to odrzucam \(\displaystyle{ A _{1}}\) bo dwa pierwsze wektory kombinują trzeci. Odrzucam też \(\displaystyle{ A _{2}}\) bo zawiera tylko dwa elementy, a więc nie może być bazą. \(\displaystyle{ A _{3}}\) uważam za bazę bo jest to prawie ten sam układ wektor co mi wyszedł, z tą różnicą, że trzeci wektor minus drugi z tej bazy daje trzeci z mojej bazy. \(\displaystyle{ A _{4}}\) też odrzucam bo są tu cztery elementy, a więc za dużo. \(\displaystyle{ A _{5}}\) też odrzucam bo nie można z tego układu otrzymać pewnych rozwiązań układu.

A co do podpunktu b) to chyba wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ Z}\) to jest dwa. Zatem baza jest dwuelementowa czyli wymiar części wspólnej tych przestrzeni to będzie dwa?

1. Po pierwsze nie napisałes żadnego układu równań
2. Nie wiesz, czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią
3. Jeżeli jest, to czy wiesz jaki jest jej wymiar?

1.No ta racja zapomniałem dopisać zer po prawej stronie.
2. A do czego mi ta informacja?
3. No wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) to jest chyba \(\displaystyle{ 3}\)?

Ad 2 gdyby to nie była podprzestrzen, to dalsze rozważania byłyby zbędne. A tak by było, gdyby np. Po prawej stronie nie stały zera.

Ad 3 chyba? Policz to

Ad 2. Dlaczego dalsze rozważania byłyby zbędne?

Ad 3. No wyszły 3 wektory bazowe z tego:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\\x _{4}\end{array}\right] =s\left[ \begin{array}{c} 2\\1\\0\\0\end{array}\right] +t\left[ \begin{array}{c} -3\\0\\1\\0\end{array}\right] +w\left[ \begin{array}{c} 1\\0\\0\\1\end{array}\right]}\)

Więc chyba wymiar jest \(\displaystyle{ 3}\). Ale nie wiem czy ja to dobrze wyznaczam?

Ad 2 bo jak nie jest podprzestrzenia, to o jakiej bazie może być mowa?

OK, wymiar jest 3. To pozwala Ci odrzucić od razu pewne układy. W innych trzeba coś policzyć.

Czy podane wektory bazowe \(\displaystyle{ Z}\) leżą w \(\displaystyle{ W}\)?

Ad 2. Ok, a dlaczego w takim razie jeśli niebyłoby zer to nie byłoby podprzestrzeni?

Ad 3. Czyli jeśli ten układ równań doprowadzi się do postaci schodkowej zredukowanej w ten sposób:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\\x _{4}\end{array}\right] =s\left[ \begin{array}{c} 2\\1\\0\\0\end{array}\right] +t\left[ \begin{array}{c} -3\\0\\1\\0\end{array}\right] +w\left[ \begin{array}{c} 1\\0\\0\\1\end{array}\right]}\)

To oznacza, że wektory \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} 2\\1\\0\\0\end{array}\right],\left[ \begin{array}{c} -3\\0\\1\\0\end{array}\right],\left[ \begin{array}{c} 1\\0\\0\\1\end{array}\right]}\) tworzą bazę?

A jakie są wektory bazowe \(\displaystyle{ Z}\)? Czy są to \(\displaystyle{ \left( 0,0,0,1\right), \left( 1,0,0,2\right)}\)? W sumie to nie wiem czy wektory bazowe leżą w \(\displaystyle{ W}\). Możesz to trochę wyjaśnić?

Jedną z baz \(\displaystyle{ Z}\) masz podaną (o ile te dwa wektory sa liniowo niezależne - a są, sprawdź to)

Jest parę możliwości: albo oba te wektory leżą w \(\displaystyle{ W}\). Albo jeden leży a drugi nie. Albo żaden nie leży.

Jaki może być wymiar \(\displaystyle{ W\cap Z}\) w każdym z tych trzech przypadków?

No to z tego co mówisz wymiar \(\displaystyle{ W\cap Z}\) może być \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\)? A co to znaczy, że wektor leży w \(\displaystyle{ W}\)?

Leży w = należy do

Pomyśl czy wszystkie trzy odpowiedzi są możliwe...

No, ale nie bardzo rozumiem. Czyli co ten wektor z \(\displaystyle{ Z}\) musi być rozwiązaniem tego układu równań zadanego przez \(\displaystyle{ W}\)?

Obstawiam, że pewnie \(\displaystyle{ 0}\) nie jest możliwe, ale nie wiem dlaczego?

max123321 pisze:No, ale nie bardzo rozumiem. Czyli co ten wektor z \(\displaystyle{ Z}\) musi być rozwiązaniem tego układu równań zadanego przez \(\displaystyle{ W}\)?

Tak, przeciez taka jest definicja \(\displaystyle{ W}\)

Obstawiam, że pewnie \(\displaystyle{ 0}\) nie jest możliwe, ale nie wiem dlaczego?

tak na chłopski rozum: gdyby przekrój był zerowymiarowy, to w czterowymiarowej przestrzeni istniałyby obok siebie przestrzeń trójwymiarowa i dwuwymiarowa. Trochę ciasno, nie uważasz?

A tak naprawdę jest wzór, który łączy ze sobą wymiary dwóch przestrzeni, ich przekroju i przestrzeni rozpiętej przez obie przestrzenie. Z tego wzoru możesz wydedukować wymiar przekroju.

Czyli z tego co mówisz wynika, że \(\displaystyle{ \dim\left( W \cup Z\right) \le 4}\)?

A ten wzór to o którym mówisz to chyba ten:

\(\displaystyle{ \dim \left( A+B\right) = \dim A + \dim B - \dim \left( A \cap B\right)}\)

?

max123321 pisze:Czyli z tego co mówisz wynika, że \(\displaystyle{ \dim\left( W \cup Z\right) \le 4}\)?

Czyż to nie jest oczywiste?

A ten wzór to o którym mówisz to chyba ten:

\(\displaystyle{ \dim \left( A+B\right) = \dim A + \dim B - \dim \left( A \cap B\right)}\)

?

Tak.

Sprawdziłes już jak wektory bazowe \(\displaystyle{ Z}\) mają sie do \(\displaystyle{ W}\)?

Zaraz, dopiero zaczynam rozumieć o co tu chodzi.

Dla mnie to \(\displaystyle{ \dim\left( W \cup Z\right) \le 4}\) wcale nie było oczywiste bo nie rozumiałem za bardzo co tu się dzieje. Czyli można powiedzieć, że przestrzeń to jest po prostu pewien zbiór wektorów i tyle?